Читайте также:
|
По математике
Тема: Функциональные и степенные ряды
План:
1. Функциональные и степенные ряды и их сходимость.
2. Свойства степенных рядов.
3. Разложение функции в степенной ряд.
4. Приближенные вычисления с помощью рядов. (Самостоятельно).
5. Заключение.
Цель лекции: продолжить изучения основных понятий раздела математики «Теория рядов», именно, изучите понятие функционального ряда и его сходимости, рассмотреть вопрос о виде области сходимости степенного ряда и в вопросе о разложении функций в степенной ряд показать возможности широкого применения степенных рядов приближенного решения задач математики, физики, экономики и т.д.
Литература:
1. Математика для экономистов, ч. 1.1., гл. 5, п.п. 5.5.-5.9.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики, гл. 21 §§ 8-14.
3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов, М., 1997, гл. 14, п.п. 14.1-14.4.
Использовать таблицы: 1. №9 Степенной ряд.
2. №10 Разложение функции в ряд Маклорена.
Функциональные и степенные ряды и их сходимость
Пусть задана последовательность функций
f 1(x), f 2(x), f 3(x),..., fn (x),..., (5.5.1)
имеющих общую область определения множество E.
Функциональным рядом называется составленное из функций (5.5.1) выражение:
f 1(x) + f 2(x) + f 3(x) +... + fn (x) +... 
. (5.5.2)
Для каждого значения x 0 из множества E функциональный ряд (5.5.2) обращается в числовой ряд:
f 1(x 0) + f 2(x 0) + f 3(x 0) +... + fn (x 0) +... (5.5.3)
Если этот числовой ряд сходится, то точка x 0 называется точкойсходимости функционального ряда (5.5.2). Если же числовой ряд (5.5.3) расходится, то точка x 0 является точкой расходимости функционального ряда (5.5.2).
Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда.
В каждой точке области сходимости M (M Î E) функционального ряда выполняется равенство
f (x) = f 1(x) + f 2(x) + f 3(x) +... + fn (x) +..., x Î M,
где f (x) – сумма ряда (5.5.2).
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.
Степенным рядом называется ряд
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + anxn +...= 
, (5.6.1)
члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, a, a 0, a 1, a 2 ,..., an,... – заданные числа. Число a 0 – свободный член, числа a 1, a 2 ,..., an,... – коэффициенты членовстепенного ряда. Члены степенного ряда являются функциями определенными на всей числовой прямой.
Степенной ряд можно записать по степеням разности x – a, где a – некоторое заданное число:
a 0 + a 1(x – a) + a 2(x – a)2 + a 3(x – a)3 +... + an (x – a) n +... = 
. (5.6.2)
Этот ряд подстановкой y = x – a сводится к ряду (5.6.1), поэтому в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (5.6.1), а все выводы, полученные для рядов (5.6.1) легко распространяются на ряды (5.6.2).
Исследуем сходимость степенного ряда (5.6.1) по признаку Даламбера:
обозначив 
; (5.6.3)
получим 
. При D < 1 или ï x ï < R ряд (5.6.1) сходится, (притом, абсолютно), при D > 1 или ï x ï > R ряд (5.6.1) расходится, при D = 1 или ï x ï = R ряд (5.6.1) может как сходиться, так и расходиться.
Число 
(5.6.4)
называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал ï x ï < R или (–R; R) – интервалом сходимости.
расходится? сходится? расходится
– R 0 R х
При R = 0 степенной ряд сходится в единственной точке х = 0, при R = ¥ – на всей числовой прямой.
Итак, чтобы найти область сходимости степенного ряда (5.6.1) необходимо по формуле (5.6.3) найти радиус сходимости (– R, R). На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Для каждого конкретного ряда поведение в точках x = – R и x = R следует исследовать особо.
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 417 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Системы распределенных вычислений | | | Примеры |