Задание К1

По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t = t₁ найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

t₁ = 1 с

если t в секундах, то X,Y в сантиметрах.

Решение

1. Определим вид траектории.

Так как движение задано координатным способом, то для получения уравнения траектории y = f (x), надо исключить параметр t.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin² α + cos² α = 1

Из первого уравнения выражаю
Из второго уравнения выражаю

Полученные уравнения возвожу во вторую степень.

Складываем эти два уравнения.

Окончательно получаем

Это уравнение окружности, радиус которой R = 2 см, координаты центра: x = − 2 см, y = 3 см.

2. Определим положение точки на траектории.

При t₁ = 1 с

Точка должна попасть на траекторию

3. Определим скорость точки М

Скорость точки определяется по формуле		так как движение задано
координатным способом, то скорость можно определить из выражения

здесь V_x – составляющая скорости вдоль оси X,

V_y – составляющая скорости вдоль оси Y

При t₁ = 1 с

Знак минус указывает на то, что вектор V_x направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси X (то есть влево)

Знак минус указывает на то, что вектор V_y направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси Y (то есть вниз)

Вектор V должен быть направлен по касательной к траектории в данной точке.

4. Определим полное ускорение точки

Так как движение задано координатным способом то полное ускорение можно найти по формуле

здесь α_x – составляющая полного ускорения вдоль оси X,

α_y – составляющая полного ускорения вдоль оси Y

При t₁ = 1 с

Знак минус указывает на то, что вектор α_x направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси X (то есть влево)

Знак плюс указывает на то, что вектор α_y направлен в сторону положительного направления оси Y (то есть вверх)

Вектор полного ускорения должен быть направлен в глубь траектории.

5. Определим касательное ускорение

При t₁ = 1 с

Знак плюс указывает на то, что вектор α_τ направлен в сторону скорости (по касательной к траектории в данной точке)

6. Определим нормальное ускорение

При t₁ = 1 с

Вектор нормального ускорения направлен к центру кривизны траектории (в нашей задаче к центру окружности).

Нормальное ускорение не может быть отрицательным.

7. Определим радиус кривизны траектории

Нормальное ускорение можно определить по формуле:		откуда радиус
кривизны траектории

При t₁ = 1 с

Погрешность составляет:

Дата добавления: 2015-07-08