Петрозаводск

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

«Петербургский государственный университет путей сообщения»

Петрозаводский филиал

Кафедра "Теоретическая механика"

Михалёв В. Р.

Теоретическая механика

Статика. Кинематика

Методические указания к решению задач по теоретической механике (статика, кинематика)

Петрозаводск

Методические указания к решению задач по теоретической механике (статика, кинематика)

Составитель:

Старший преподаватель кафедры «Теоретическая механика»

Михалёв Виктор Рейнович.

2,5 печатных листа.

Теоретическая механика

Введение

Методические указания. Специальности ЛТ, СЖТ, ПТМ, В, ЭТ, МТ.

Настоящие методические указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов – заочной формы обучения специальностей ЛТ, СЖТ, ПТМ, В, ЭТ, МТ, изучающих курс «Теоретическая механика». Указания содержат необходимые для подготовки к итоговой аттестации, индивидуальные задания с примерами решения, обозначением физических величин, списком вопросов к экзамену.

Правила оформления контрольных работ

1. Вариант контрольных работ совпадает с последней цифрой учебного шифра студента. Контрольные работы выполняются шариковой ручкой в школьной тетради в клетку, на обложке которой должны быть приведены следующие сведения: название дисциплины и номер контрольной работы, Фамилия, Имя, Отчество, учебный шифр студента. Контрольные работы должны поступать в университет для проверки не позднее чем за 14 дней до начала сессии.

2. Условия всех задач студенты переписывают полностью без сокращений.

3. Все значения величин, заданных в условиях и привлекаемых из справочных таблиц, записывают для наглядности сокращенно (столбиком) в тех единицах, которые заданы, и в единицах СИ.

4. К большей части задач необходимы чертежи или графики с обозначением всех величии. Чертежи следует выполнять аккуратно при помощи чертежных инструментов; объяснение решения должно быть согласовано с обозначениями на чертежах.

5. Использованные в формулах буквенные обозначения должны быть согласованы с обозначениями, приведенными в условии задачи и на приведенном рисунке. Дополнительные буквенные обозначения следует сопровождать соответствующими объяснениями.

6. Вычисления следует производить с точностью, соответствующей точности исходных числовых данных условия задачиКаждая последующая задача в контрольной работе должна начинаться с новой страницы.

7. В конце контрольной работы необходимо указать дату сдачи работы, подпись, а также учебные пособия, учебники, использованные при ее выполнении.

8. Если контрольная работа не допущена к зачету, то все необходимые дополнения и исправления сдают вместе с незачтенной работой.

9. Допущенные к зачету контрольные работы с исправлениями предъявляются преподавателю для защиты контрольной работы. Студент должен быть готов дать пояснения по решению всех выполненных им задач, уметь решить подобную задачу.

Плоская система сходящихся и произвольно расположенных сил

Задание С 2. Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы.

Определить реакции опор фермы, а также силы во всех её стержнях методом вырезания узлов.

Дополнительно определить силы в трёх стержнях фермы методом Риттера (номера стержней указаны в таблице)

Р₁ = 12 кН, Р₂ = 8 кН, Р₃ = 2 кН, а = 6 м,  = 45^о.

Решение

На ферму действуют три сосредоточенные силы Р₁, Р₂, Р₃. На ферму наложены связи:

1. стержневая опора в шарнире С. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень может работать на растяжение и сжатие. Будем считать, что стержень растягивается, тогда реакция направлена вдоль стержня от фермы.

2. неподвижный шарнир в точке В – полную реакцию такой опоры заменяем двумя составляющими X_B и Y_B.

Y

Определим опорные реакции.

Ферма находится в равновесии под действием плоской произвольной системы сил. Можно составить три уравнения равновесия. Используем второй вид уравнений.

∑P_ix = 0

∑M_B = 0

∑M_C = 0

Погрешность отсутствует, реакции определены верно.

Определим усилия в стержнях методом вырезания узлов.

Первыми вырезают те узлы, в которых сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями (реакциями). Все стержни считаем растянутыми (реакции направляем по стержням от узла).

Вырезаем узел С

Для проверки: из произвольной точки «О» откладываю, сохраняя истинное направление и величину известный вектор S₁, через его конец провожу линию, параллельную неизвестной реакции S₂, а через начало вектора S₁ -линию, параллельную неизвестной реакции S₃, получаю точку пересечения «А», которая в масштабе вектора S₁ определит вектора S₂ и S₃.

Видно, что вектор S₂ изменил направление на противоположное – реакция S₂ в решении получилась отрицательной, вектор S₃ не изменил направления - реакция S₃ в решении получилась положительной, длина вектора S₃ больше, чем длина вектора S₁.

Вырезаем узел D

Вновь все стержни считаем растянутыми (реакции направлены от узла)

Для проверки: из произвольной точки «О» откладываю, сохраняя истинное направление и величину известный вектор Р₁, из его конца, сохраняя истинное направление и величину, откладываю вектор S₂ (так как в решении S₂ – отрицательна, то в проверке вектор S₂ поворачиваю на 180⁰). Через конец вектора S₂ провожу линию, параллельную неизвестной реакции S₄, а через начало вектора Р₁ - линию, параллельную неизвестной реакции S₅, получаю точку пересечения «А», которая в масштабе вектора Р₁ определит вектора S₄ и S₅.

Видно, что вектора S₄ и S₅ изменили направление на противоположное – реакции S₄ и S₅ в решении получились отрицательными.

Вырезаем узел F

Для проверки: из произвольной точки «О» откладываю, сохраняя истинное направление и величину известный вектор S₄ (так как в решении S₄ – отрицательная, то в проверке вектор S₄ поворачиваю на 180⁰) из его конца, сохраняя истинное направление и величину, откладываю вектор S₃. Через конец вектора S₃ провожу линию, параллельную неизвестной реакции S₇, а через начало вектора S₄ - линию, параллельную неизвестной реакции S₆, получаю точку пересечения «А», которая в масштабе вектора S₃ определит вектора S₆ и S₇.

Видно, что вектор S₆ изменил направление на противоположное – реакция S₆ в решении получилась отрицательной. Вектор S₆ короче вектора S₄.

Вырезаем узел L

Вырезаем узел K

Вырезаем узел N

Вырезаем узел В

Здесь составляем только одно уравнение равновесия, так как усилие S₁₃ определяли, вырезая узел N, но в проверке определяли и S₁₄, и S₁₃.

Метод Риттера.

Этот метод позволяет определить усилие в любом стержне, разрезав ферму на две части (желательно по трём стержням).

По условию методом Риттера надо найти усилия в стержнях 5,6, 11.

Для определения S₅ и S₆ разрезаем ферму по 5, 6 и 7 стержням. Стержни считаем растянутыми, реакции направляем по стержням от фермы, Рассматриваю равновесие левой части.

Здесь равновесие плоской произвольной системы, можно составить три уравнения равновесия. Надо выбирать такие уравнения, чтобы каждое из них содержало только одну неизвестную (S₅, S₆ или S₇).

Для определения S₁₁ разрезаем ферму по 9,10 и 11 стержням. Стержни считаем растянутыми, реакции направляем по стержням от фермы, Рассматриваю равновесие правой части.

Из трёх возможных уравнений равновесия составляю одно, которое из неизвестных реакций содержит только S₁₁.

Вывод: метод вырезания узлов и метод Риттера дали одинаковые значения реакций S_5, S₆ и S₁₁, но способ Риттера позволяет найти эти реакции быстрее.

Ответ: Х_В = - 2 кН; Y_В = 6,5 кН; S₁ = 13,5 кН;

S₂ = - 13,5 кН; S₃ = 19,09 кН; S₄ = - 12 кН;

S₅ = - 13,5 кН; S₆ = - 2,21 кН; S₇ = 15 кН;

S₈ = 8 кН; S₉ = - 8,55 кН; S₁₀ = - 9,19 кН;

S₁₁ = 15 кН; S₁₂ = 0; S₁₃ = - 8,55 кН; S₁₄ = 9,19 кН.

Задание С3. Определение реакций опор составной конструкции
(система двух тел).

Найти реакций опор и промежуточного шарнира составной конструкции. Размеры на схемах в метрах.

Решение

На эту конструкцию наложены связи: два неподвижных шарнира в точках А и В – по две реакции в каждом шарнире. Здесь имеем равновесие тела под действием плоской произвольной системы сил, можно составить три уравнения равновесия, а неизвестных реакций – четыре. Решить задачу обычным способом – нельзя.

Рассмотрим равновесие части АС. На неё действуют внешние силы:

1. сосредоточенная сила Р₁,

2. равномерно распределённая по длине CD нагрузка интенсивностью q, заменим эту нагрузку равнодействующей Q = q ® CD = 2 ® 3 = 6 кН

На эту часть наложены связи:

1. неподвижный шарнир в точке А – две реакции

2. неподвижный шарнир в точке С – две реакции

Здесь имеем равновесие плоской произвольной системы сил, можно составить три уравнения равновесия.

Подставляю числовые значения и выполняю возможные действия.

Получили систему трёх уравнений, но с четырьмя неизвестными. Найти реакции пока не можем.

Рассмотрим равновесие части ВС. На неё действуют внешние силы:

1. сосредоточенная сила Р₂, заменим её составляющими

Р₂^|| = Р₂ ® cos 30⁰ = 10 ® 0,87 = 8,7 кН

Р₂^| = Р₂ ® cos 60⁰ = 10 ® 0,5 = 5 кН

2. сосредоточенная пара сил с моментом М

На эту часть наложены связи:

1. неподвижный шарнир в точке В – две реакции

2. неподвижный шарнир в точке С – две реакции

Здесь имеем равновесие плоской произвольной системы сил, можно составить три уравнения равновесия.

Подставляю числовые значения и выполняю возможные действия.

По закону равенства действия и противодействия можно записать:

Подставляем значения в уравнение (6) и решаем совместно уравнения (3) и (6).

Знаки минус у некоторых реакций указывают на то, что их действительные направления противоположны тем, которые показаны на схемах.

Проверка.

На основной схеме показываю силу Q, составляющие силы Р₂ и все реакции, кроме реакций промежуточного шарнира «С».

Составляю одно уравнение равновесия (в него должны войти все основные неизвестные)

∑М_С = 0;

Ответ: X_A = 3,33 кН, Y_А = 7,55 кН, X_В = -5,33 кН, Y_В = 7,15 кН,

Х_С = ± 10,33 кН, Y_С =± 1,55 кН

Пространственная система произвольно расположенных сил

Задача С 7.

Ø200

Определить усилие Р₂ и опорные реакции промежуточного вала редуктора.

P₁ = 4 к Н Р_{r 1} = 0,4 P₁ P_{r 2} = 0,4 P₂ P_{s 2} = 0,3 P₂

Дан промежуточный вал редуктора.

Маленькое колесо – колесо прямозубой передачи. Р₁ и Р_{r 1} – составляющие полного усилия, действующего в зацеплении прямозубой передачи.

Большое колесо – колесо косозубой передачи. Р₂ , Р_{r 2}, P_{s 2} – составляющие полного усилия, действующего в зацеплении косозубой передачи.

Р₁ и Р₂ - окружные усилия

Р_{r 1} и Р_{r 2} – радиальные усилия

P_{s 2} – осевое усилие

Р₁, Р₂, Р_{r 1} и Р_{r 2} – радиальные нагрузки для вала (лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вала)

P_{s 2} – осевая нагрузка для вала.

На вал положены связи – подшипники качения в точках А и В

Опора А – радиально-упорный подшипник, воспринимает радиальные и осевые нагрузки; полную реакцию такой опоры заменяют тремя составляющими

Опора В – радиальный подшипник, воспринимает только радиальные нагрузки; полную реакцию такой опоры заменяют двумя составляющими.

Установившееся вращение вала (с постоянной угловой скоростью) можно считать равновесием.

Вал находится в равновесии под действием пространственной системы произвольно расположенных сил.

Можно составить шесть уравнений равновесия:

- алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси Х

- алгебраическая сумма проекций всех сил на ось Х

Начало координат выбираю в центре радиально-упорного подшипника (точка А).

Составляю уравнения равновесия. Уравнения проекций (проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярна этой оси):

Уравнения моментов (момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна этой оси или пересекает эту ось).

Начинаю решать эту систему с уравнения (6)

Определяю силы P_{r 1}, P_{r 2}, P_{s 2} (по условию)

Из уравнения (5) определяю

Из уравнения (4) определяю

Из уравнения (3) определяю

Из уравнения (2) определяю

Из уравнения (1) определяю

Ответ:

Знаки минус у реакций указывают на то, что их действительные направления противоположны, показанным на схеме.

Дата добавления: 2015-07-08