Расчет частотно-селективных цепей

4.1. Входные и выходные сопротивления и

проводимости четырехполюсника

Свойства четырехполюсника с точки зрения источника сигнала и нагрузки (рис. 4.1) описываются его входными , и выходными , сопротивлениями и проводимостями [2].

Рис. 4.1

На рис. 4.2а показаны эквивалентные схемы входной, а на рис. 4.2б - выходной цепей четырехполюсника.

Рис. 4.2

На рис. 4.2 обозначено: - ЭДС источника сигнала,

- его внутреннее сопротивление, - ЭДС эквивалентного источника напряжения (по теореме об эквивалентном источнике), равная напряжению холостого хода четырехполюсника со стороны выходных полюсов (рис. 4.2в), - внутреннее сопротивление цепи относительно выходных полюсов.

Рассмотрим схему (рис. 4.3), возникающую при измерении сигнала реального источника напряжения с помощью осциллографа, входная цепь которого представляет собой параллельное соединение сопротивления и емкости .

Рис. 4.3

Входное сопротивление осциллографа равно

(4.1)

Входное сопротивление имеет активную и реактивную составляющие

(4.2)

(4.3)

Модуль входного сопротивления осциллографа равен

(4.4)

На рис. 4.4 показаны зависимости сопротивлений от частоты.

Рис. 4.4

Как видно, модуль и активная составляющая входного сопротивления осциллографа падают с увеличением частоты, это проявляется на частотах выше (1,6 кГц). Реактивная составляющая отрицательна, то есть цепь имеет емкостный характер.

Если с помощью осциллографа измеряется амплитуда ЭДС (напряжения) источника , то фактически на прибор воздействует амплитуда напряжения . Комплексная амплитуда равна

Амплитуда определяется как модуль комплексной амплитуды

(4.5)

Зависимость от частоты нормированных напряжений при различных сопротивлениях источника сигнала показана на рис. 4.5. Как видно, точность измерения напряжения источника уменьшается с ростом его внутреннего сопротивления и частоты сигнала. Задача точного измерения уровня сигнала источника может быть решена только если и . Для оценки погрешностей необходимо анализировать входное сопротивление (проводимость) измерителя.

Рис. 4.5

В общем случае входное сопротивление четырехполюсника зависит от сопротивления нагрузки. Устранить это влияние можно включением между источником сигнала и нагрузкой усилителей сигнала.

Рассмотрим нагруженный пассивный четырехполюсник, схема которого показана на рис. 4.6.

Рис. 4.6

Входное сопротивление равно

После преобразований получим

Проведите анализ входного сопротивления и его составляющих, постройте графики.

Рассмотрим влияние выходного (внутреннего) сопротивления четырехполюсника на выходную цепь (рис. 4.2б).

Определим амплитуду выходного напряжения при активном выходном сопротивлении ,

. (4.6)

Как видно, для увеличения напряжения на нагрузке необходимо уменьшать выходное сопротивление четырехполюсника.

Найдем переданную в нагрузку мощность

(4.7)

Максимум мощности имеет место при условии

(4.8)

(получите этот результат самостоятельно).

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 4.7а. Ее можно преобразовать к виду рис. 4.2б, если рассматривать четырехполюсник без нагрузки как реальный источник напряжения с

эквивалентной ЭДС , определяемой в цепи, схема которой показана на рис. 4.7б. Эквивалентная ЭДС определяется по закону Ома

. (4.9)

Рис. 4.7

Выходное сопротивление четырехполюсника в цепи на рис. 4.7в равно

(4.10)

Для активной и реактивной составляющих получим следующие соотношения

(4.11)

(4.12)

Рассмотрите самостоятельно составляющие выходного сопротивления, полагая , для различных в диапазоне частот от 0 до .

В схеме рис. 4..2б найдем напряжение на нагрузке

. (4.13)

Подставляя (4.9) и (4.10), получим

(4.14)

а для амплитуды напряжения соответственно

(4.15)

Зависимость амплитуды напряжения на нагрузке от частоты при указанных выше параметрах показана на рис. 4.8.

Рис. 4.8

Определим потребляемую нагрузкой мощность

. (4.16)

Зависимость от частоты для различных значений нагрузки показана на рис. 4.9а. На рис. 4.9б показана зависимость от сопротивления нагрузки на различных частотах.

Рис. 4.9

Проанализируйте самостоятельно полученные зависимости, сделайте выводы.

Как видно, расчет входного и выходного сопротивлений четырехполюсника позволяет анализировать возможности подключения к немы различных источников сигнала и нагрузок. Аналогичные исследования можно проводить самостоятельно в лабораторных и курсовых работах.

4.2. Частотные характеристики цепей первого порядка

Под частотными характеристиками четырехполюсника обычно понимают комплексный коэффициент передачи по напряжению

, (4.17)

амплитудно-частотную (АЧХ)

, (4.18)

и фазо-частотную (ФЧХ)

(4.19)

характеристики.

Примеры расчета АЧХ и ФЧХ простейших четырехполюсников приведены в [2].

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 4.10 при и .

Расчет комплексного коэффициента передачи проводится, полагая известным входное напряжение и любым методом расчета гармонических колебаний определяя выходное напряжение .

Рис. 4.10

В цепи на рис. 4.10 с помощью закона Ома получим

(4.20)

Коэффициент передачи равен

. (4.21)

Амплитудно-частотная характеристика цепи имеет вид

, (4.22)

а для фазо-частотной характеристики получим

. (4.23)

Максимум АЧХ имеет место при (докажите это самостоятельно) и равен

. (4.24)

Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 4.11.

Рис. 4.11

Граничные частоты и полосы пропускания определяются из уравнения

(4.25)

(обратите внимание, что максимум коэффициента передачи не всегда равен 1). Для фильтра нижних частот на рис. 4.10 нижняя граница полосы пропускания (рис. 4.11а) , а из (4.25) и (4.22), (4.24) находим

, (4.26)

Возводя в квадрат обе части (4.26) и переворачивая дроби, получим

,

тогда

и далее

.

В результате верхняя граничная частота полосы пропускания равна

,

а для полосы пропускания получим

. (4.27)

Определим коэффициент прямоугольности. Для этого найдем полосу пропускания на уровне от максимального коэффициента передачи из уравнения, подобного (4.26)

, (4.28)

из которого аналогично предыдущему получим и

,

тогда

. (4.29)

Коэффициент прямоугольности равен

. (4.30)

Проведем расчет частотных характеристик фильтра верхних частот, схема которого показана на рис. 4.12, при и .

.

Рис. 4.12

Подобно (4.20) в цепи на рис. 4.12 с помощью закона Ома получим выражение для выходного напряжения

, (4.31)

тогда комплексный коэффициент передачи равен

. (4.32)

Для АЧХ и ФЧХ соответственно получим

, (4.33)

. (4.34)

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 4.13.

Рис. 4.13

Максимум коэффициента передачи имеет место на бесконечной частоте и равен

. (4.35)

что совпадает с (4.24)

Как видно, цепь на рис. 4.12 является фильтром верхних частот. В частотной области его свойства характеризуются полосой удержания (рис. 4.13а). Ее нижняя граница , а верхняя определяется из уравнения

. (4.36)

Возведя обе части (4.36) в квадрат и перевернув дроби, получим

, (4.37)

в результате для полосы удержания получим

. (4.38)

Определим коэффициент прямоугольности фильтра верхних частот

, (4.39)

где - полоса удержания на уровне от максимального значения . Для нее , а верхняя граница полосы удержания находится из уравнения

(4.40)

и аналогично (4.37) равна

, (4.41)

Тогда из (4.39) коэффициент прямоугольности равен

. (4.42)

Определим АЧХ и ФЧХ цепи, показанной на рис. 4.14.

Рис. 4.14

Расчет выходного напряжения при заданном входном напряжении проведем методом узловых напряжений (проведите самостоятельно аналогичный расчет на основе закона Ома). Введем узловое напряжение и выразим через него токи всех ветвей

ток протекает через элементы и , и не ответвляется в выходную цепь, так как нагрузка четырехполюсника отсутствует (имеет бесконечное сопротивление).Тогда по первому закону Кирхгофа получим уравнение метода узловых напряжений

. (4.43)

Определим узловое напряжение

(4.44)

и найдем выходное напряжение

. (4.45)

В результате комплексный коэффициент передачи четырехполюсника равен

(4.46)

Для АЧХ и ФЧХ получим

(4.47)

(4.48)

Графики частотных характеристик при и показаны на рис. 4.15. Расчет полосы пропускания и коэффициента прямоугольности проведите самостоятельно.

Рис. 4.15

4.3. Параметры четырехполюсника

Условно-графическое обозначение четырехполюсника показано на рис. 4.16.

Рис. 4.16

Выбирая в качестве независимых переменных входное и выходное напряжения, получим систему Y-параметров четырехполюсника

(4.49)

Выбрав независимыми переменными входной ток и выходное напряжение , получим модель четырехполюсника в виде системы H-параметров

(4.50)

В дальнейшем будем рассматривать H-параметры четырехполюсника. Систему Y-параметров рассмотрите аналогично самостоятельно.

Параметр , равный отношению входного напряжения к входному току, является комплексным входным сопротивлением четырехполюсника при коротком замыкании выхода и измеряется в Омах,

. (4.51)

Параметр равен отношению комплексных амплитуд выходного тока к входному и представляет собой безразмерный комплексный коэффициент передачи тока при коротком замыкании выхода,

. (4.52)

Параметр равен отношению комплексных амплитуд входного и выходного напряжений. Его целесообразно назвать комплексным коэффициентом обратной передачи напряжения при холостом ходе входной цепи,

. (4.53)

Параметр , равный отношению выходного тока к выходному напряжению, является комплексной выходной проводимостью четырехполюсника при холостом ходе входной цепи,

, (4.54)

Рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 4.17 и определим его H-параметры.

Рис. 4.17

Входное сопротивление находится при условии короткого замыкания выхода в схеме на рис. 4.18а, для которой очевидно

. (4.55)

Рис. 4.18

В этой же цепи на рис. 4.18а находим коэффициент передачи тока . Очевидно, что ток как токи в элементах и равны нулю (они замкнуты перемычкой и напряжение на них равно нулю). тогда

. (4.56)

Для расчета двух остальных параметров необходимо обеспечить режим холостого хода входной цепи, то есть условие (схема цепи показана на рис. 4.18б).

Параметр равен отношению комплексных амплитуд входного и выходного напряжений (4.53). полагая известным , по второму закону Кирхгофа найдем из уравнения , тогда при получим и

. (4.57)

Выходная проводимость равна отношению выходного тока к выходному напряжению (4.54). Так как выходная цепь разомкнута (), то проводимость параллельного соединения элементов и равна

. (4.58)

В результате получим систему уравнений для H-параметров (4.50) в виде

(4.59)

Как видно, первое уравнение представляет собой уравнение первого закона Кирхгофа для цепи на рис 4.17, а второе уравнение – второго закона Кирхгофа. Эта особенность проявляется только для очень простых четырехполюсников.

Рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 4.19.

Рис. 4.19

На рис. 4.20а представлена его схема при замкнутом выходе, а на рис. 4.20б – эквивалентно упрощенная схема с учетом того, что ток через сопротивление равен нулю.

Рис. 4.20

Найдем входное сопротивление при условии короткого замыкания выхода в схеме на рис. 4.20б

. (4.60)

В цепи на рис. 4.20б определим коэффициент передачи тока . Положим известным входной ток , тогда по закону Ома напряжение на параллельно соединенных элементах и равно

,

а ток через индуктивность соответственно

.

Так как по схеме рис. 4.20б , то коэффициент передачи тока четырехполюсника равен

. (4.61)

Расчет параметра проведем в цепи на рис. 4.21а при разомкнутом входе, упрощенная схема с учетом того, что входной ток , показана на рис. 4.21б. Положим известным выходное напряжение и по закону Ома в схеме на рис. 4.21б найдем входное напряжение

,

тогда получим

. (4.62)

Рис. 4.21

Выходная проводимость для цепи на рис. 4.21б равна проводимости параллельного соединения сопротивления и последовательно соединенных элементов и ,

. (4.63)

В результате из (4.50) получим систему уравнений четырехполюсника, в которой в явном виде не просматриваются уравнения Кирхгофа,

(4.64)

Эти уравнения можно получить по методу наложения в схеме цепи, показанной на рис. 4.22, выбрав в качестве искомых величин напряжение и ток (проведите расчет самостоятельно).

Рис. 4.22

4.4. Колебательные контуры

4.4.1. Методика расчета

Колебательные контуры – это цепи не ниже второго порядка с индуктивностью и емкостью, на которые воздействуют высокочастотные узкополосные сигналы, поэтому их свойства в основном рассматриваются в окрестности резонансной частоты.

Расчет цепей с колебательными контурами при воздействии гармонических сигналов проводится методом комплексных амплитуд. В его рамках можно использовать все рассмотренные ранее (в третьем разделе) методы расчета.

Если анализ контура ведется в малой окрестности резонансной частоты, то для расчета целесообразно использовать координаты обобщенной расстройки , равной

, (4.65)

где - добротность контура,

, (4.66)

(4.67)

характеристическое сопротивление контура, или - абсолютная расстройка контура, - резонансная частота,

, . (4.68)

4.4.2. Последовательный колебательный контур

Эквивалентная схема последовательного колебательного контура показана на рис. 4.23.

Рис. 4.23

Входное сопротивление последовательного колебательного контура относительно точек подключения источника напряжения в координатах абсолютной частоты равно

.

При значениях частоты , близких к резонансной частоте контура (4.68), реактивные сопротивления индуктивности и емкости велики и близки между собой, а их разность сравнительно мала, что даже в этом случае затрудняет точные вычисления.

Например, при , , на частоте получим

В координатах обобщенной расстройки (4.65) входное сопротивление контура равно

. (4.69)

В рассмотренном примере резонансная частота

,

добротность контура

,

тогда обобщенная расстройка контура равна

.

В результате входное сопротивление контура равно

.

Определим напряжение на индуктивности контура (рис. 4.23) при , , и . Комплексная амплитуда ЭДС равна и частота гармонического сигнала . Добротность контура определена ранее и равна , а обобщенная расстройка имеет вид

.

Найдем ток в цепи

тогда для комплексной амплитуды напряжения на индуктивности получим

.

Подставим исходные данные

Очевидно, что выражения и расчеты для в координатах частоты будут более громоздкими (получите их самостоятельно). Для мгновенных значений получим

.

Комплексный коэффициент передачи последовательного колебательного контура равен

, (4.70)

, (4.71)

его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

(4.72)

и фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

, (4.73)

, (4.74)

Для предыдущего примера из (4.70) получим

что совпадает с предыдущим значением.

Воспользовавшись АЧХ (4.72) и ФЧХ (4.74), аналогично получим

Если известны первичные параметры контура , то по ним можно определить вторичные параметры , , , полосу пропускания ,

или . (4.75)

Рассмотрим задачу определения параметров колебательного контура. Для ее решения необходимо запомнить основные формулы (4.65) – (4.75).

Пусть известны , , и необходимо определить сопротивление потерь . Из (4.66)

,

а из (4.68)

Если известны , и необходимо найти резонансную частоту , то из (4.67)

.

На свойства последовательного колебательного контура существенное влияние оказывает сопротивление нагрузки, которое чаще всего подключается к емкости, как показано на рис. 4.24а.

Рис. 4.24

Параллельное соединение емкости контура и нагрузки в окрестности резонансной частоты можно пересчитать в последовательное, тогда получим эквивалентную цепь, показанную на рис. 4.24б, совпадающую со схемой контура без нагрузки на рис. 4.23, где

. (4.76)

Таким образом, сопротивление нагрузки увеличивает потери в контуре и снижает его эквивалентную добротность, которая с учетом нагрузки определяется выражением

. (4.77)

Например, если к контуру с , и подключено сопротивление нагрузки ,

то его эквивалентная добротность будет равна

.

Рассмотрим четырехполюсник, содержащий последовательный колебательный контур, схема которого показана на рис. 4.25, при , , , , и определим его частотные характеристики в окрестности резонансной частоты контура.

Рис. 4.25

Резонансная частота контура равна

.

Если проводить расчет в координатах частоты , то с помощью закона Ома для комплексного коэффициента передачи получим (проведите расчет самостоятельно)

(4.78)

Тогда модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) коэффициента передачи соответственно равны

(4.79)

(4.80)

На рис. 4.26 представлена программа расчета и графики АЧХ и ФЧХ в соответствии с (4.78). Проведите аналогичный расчет по выражениям (4.79) и (4.80).

Рис. 4.26

Как видно, выражения для АЧХ и ФЧХ достаточно громоздки.

Определим АЧХ и ФЧХ цепи на рис. 4.25 в координатах обобщенной расстройки . В этом случае сопротивление

последовательного колебательного контура равно (4.69) и с помощью закона Ома получим комплексный коэффициент передачи

. (4.81)

Для АЧХ и ФЧХ соответственно можно записать

. (4.82)

. (4.83)

Полученные выражения существенно проще (4.79) и (4.80), программа для расчета частотных характеристик и построения их графиков показана на рис. 4.27.

Рис. 4.27

Формула для перехода от координат обобщенной расстройки к частотам вытекает из (4.65) и имеет вид

. (4.84)

Соответствующий расчет проведен в программе на рис. 4.26 и представлен широким пунктиром на графиках частотных характеристик. Как видно, обеспечивается высокая точность расчета в широком диапазоне значений . На практике величины обобщенной расстройки удовлетворяют неравенству

. (4.85)

Из (4.82) видно, что максимум АЧХ имеет место при (минимум знаменателя) и равен

. (4.86)

Из формулы (4.79) этот результат не столь очевиден (определите максимум самостоятельно).

Определим полосу пропускания полосового частотного фильтра (рис. 4.25) в координатах (рис. 4.28). Для этого запишем уравнение

(4.87)

и найдем его корни – значения и на границе полосы пропускания. Перевернув дроби и возведя обе части уравнения в квадрат, получим

. (4.88)

Интервал обобщенных расстроек внутри полосы пропускания равен

Рис. 4.28

Для полосы пропускания в координатах частоты из (4.65)

,

откуда

(4.89)

Подставляя исходные данные, получим

Аналогично определяется коэффициент прямоугольности рассматриваемого фильтра (проведите расчет самостоятельно).

4.4.3. Параллельный колебательный контур

Эквивалентная схема параллельного колебательного контура показана на рис. 4.29а, а ее эквивалентные варианты – на рис. 4.29б и 4.29в соответственно. На рис. 4.29а - общее сопротивление потерь контура, на рис. 4.29б и - сопро-

тивления потерь в индуктивности и емкости (обычно ),

, (4.90)

и эти величины достаточно малы (доли Ома – десятки Ом).

Рис. 4.29

Сопротивление в цепи на рис. 4.29в обычно велико (десятки – сотни кОм и выше) и не является сопротивлением потерь в рассматриваемом смысле, оно учитывает процессы рассеивания мощности в контуре и равно

, (4.91)

где - характеристическое сопротивление (4.67), - добротность (4.66) контура.

Входное сопротивление параллельного колебательного контура (рис. 4.29а) в координатах частоты равно

Как видно, выражение достаточно громоздко и неудобно для использования.

Значительно проще вести расчет в координатах обобщенной расстройки (4.65), тогда

. (4.92)

Как видно, является резонансным сопротивлением контура.

При , , из (4.89) получим

.

На частоте обобщенная расстройка равна

и для сопротивления контура получим

Как видно, параллельный колебательный контур обладает высоким входным сопротивлением.

Определим ток емкости в цепи на рис. 4.30 при , , и . По закону Ома напряжение на контуре равно

.

Рис. 4.30

Сопротивление емкости равно

,

тогда ток емкости определим по формуле

.

Проведите вычисления самостоятельно.

Комплексный коэффициент передачи параллельного колебательного контура равен

, (4.93)

, (4.94)

его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) совпадает с АЧХ последовательного контура

(4.95)

а фазо-частотная характеристика (ФЧХ) равна

, (4.96)

. (4.97)

Для расчета тока емкости в цепи на рис. 4.30 можно просто воспользоваться (4.91), откуда сразу следует результат.

Четырехполюсники и частотные фильтры с параллельными колебательными контурами целесообразно исследовать в координатах обобщенной расстройки. Рассмотрим четырехполюсник, показанный на рис. 4.31.

Рис. 4.31

Исходя из закона Ома с учетом (4.92) для комплексного коэффициента передачи можно записать выражение

Для АЧХ и ФЧХ получим

соответствующие графики показаны на рис. 4.32а и 4.32б.

Рис. 4.32

Как видно, цепь на рис. 4.31 является режекторным фильтром, минимум АЧХ при () равен

.

Дата добавления: 2015-07-08