Комплексных амплитуд

3.1. Расчет цепи на основе закона Ома

С помощью только закона Ома удобно проводить расчет гармонических токов и напряжений в простой цепи с одним источником сигнала.

В исходной цепи задаются положительные направления и условные обозначения токов и напряжений элементов, определяются комплексные амплитуды источников и комплексные сопротивления элементов. Вычисляется комплексное сопротивление (проводимость) цепи относительно зажимов источника. Затем определяется общий ток (напряжение) в цепи и далее вычисляются искомые токи и напряжения.

В качестве примера рассмотрим цепь, показанную на рис. 3.1а, при , и . Зададим условные обозначения и положительные направления токов и напряжений элементов цепи, обозначим их комплексные амплитуды (рис. 3.1б).

Рис. 3.1

Определим комплексную амплитуду ЭДС источника

,

частота сигнала равна .

Вычислим комплексное сопротивление цепи относительно точек подключения источника,

Тогда общий ток цепи (ток источника) равен

и напряжение на сопротивлении определяется выражением

Определим напряжение на параллельном соединении элементов

и токи в элементах и

Расчет сопротивлений, токов и напряжений проведен в программе, показанной на рис. 3.2 (повторите вычисления самостоятельно с помощью калькулятора и программы).

Рис. 3.2

Результаты расчета приведены в таблице.

Сигнал	Комплексная амплитуда	Амплитуда	Начальная фаза, рад.
		6,325 мА	0,845
		6,325 В	0,845
		4,472 В	0,06
		4,472 мА	0,06
		4,472 мА	1,631

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 3.3а, при , , и .

Введем условные обозначения и положительные направления токов и напряжений в элементах цепи, обозначим их комплексные амплитуды (рис. 3.3б).

Рис. 3.3

Комплексная амплитуда тока источника равна

Определим проводимость цепи относительно точек подключения источника

тогда комплексное сопротивление этой цепи будет равно

Комплексная амплитуда общего напряжения цепи равна

а для токов ветвей соответственно

Нетрудно убедиться, что выполняется первый закон Кирхгофа . Напряжения на последовательно соединенных элементах и вычисляются по формулам

Убедитесь, что аналитически и численно выполняется второй закон Кирхгофа .

На рис. 3.4 приведена программа расчета комплексных амплитуд токов и напряжений. Там же определены их амплитуды и начальные фазы (приведите вычисления и преобразования комплексных чисел в различные формы самостоятельно).

Рис. 3.4

3.2. Общий метод расчета цепи по уравнениям

Кирхгофа

В цепи задаются положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений ветвей (элементов) [1]. Определяются числа узлов и ветвей , не содержащих идеальные источники тока. Выбираются независимых контуров и задаются направления их обхода (обычно по часовой стрелке). Определяются комплексные амплитуды ЭДС и токов источников.

Составляется подсистема компонентных уравнений цепи для каждого элемента (ветви) на основе закона Ома.

Записывается подсистема топологических уравнений цепи на основе законов Кирхгофа. По первому закону составляются уравнений для токов ветвей, а по второму закону

уравнений для напряжений ветвей, всего получим уравнений.

Из компонентных уравнений выражаются токи ветвей и подставляются в топологические уравнения. Получается система уравнений для комплексных амплитуд напряжений ветвей.

Аналогично из компонентных уравнений выражаются напряжения ветвей и подставляются в топологические уравнения. В результате формируется система уравнений для комплексных амплитуд токов ветвей.

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 3.5а (ранее она рассматривалась на рис. 3.1), при , и . Зададим условные обозначения и положительные направления токов и напряжений элементов цепи, обозначим их комплексные амплитуды (рис. 3.5б). Комплексная амплитуда ЭДС источника и частота равны

,

.

Рис. 3.5

Запишем подсистему компонентных уравнений

(3.1)

В цепи узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляется уравнение вида

(3.2)

Число ветвей , тогда по второму закону Кирхгофа составляется уравнения вида

(3.3)

Выражая из (3.1) напряжения через токи (это уже сделано) и подставляя их в (3.3), получим систему уравнений для токов ветвей

(3.4)

Для ее решения выразим из последнего уравнения ток

(3.5)

и подставим его в остальные уравнения (3.4), получим

(3.6)

Из первого уравнения найдем ток и подставим во второе, тогда

и ток емкости равен

(3.7)

Из первого уравнения (3.6) с учетом (3.7) получим

(3.8)

а из (3.5)

(3.9)

(приведите вычисления и преобразования комплексных чисел в различные формы самостоятельно).

Как видно, результаты расчета токов ветвей (3.7)-(3.9) совпадают с полученными ранее для цепи на рис. 3.1. Зная токи ветвей, вычислим напряжения на элементах цепи по уравнениям закона Ома (3.1) (проведите расчет самостоятельно).

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 3.6 при , , и . Зададим условные обозначения и положительные направления токов и напряжений элементов цепи, обозначим их комплексные амплитуды.

Запишем гармонические сигналы источников в канонической форме

,

.

Вычислим комплексные амплитуды ЭДС источника напряжения и тока источника тока , частота Рис. 3.6

сигналов .

На основе закона Ома запишем компонентные уравнения

(3.10)

В цепи узла и поэтому по первому закону Кирхгофа составляется уравнение вида

(3.11)

Число ветвей без идеального источника тока и по второму закону Кирхгофа необходимо составить уравнение

(3.12)

Полная система уравнений включает в себя (3.10) - (3.12).

Выражая из (3.10) токи ветвей через напряжения, получим систему уравнений для напряжений ветвей

(3.13)

Из второго уравнения найдем напряжение

(3.14)

и подставив его в первое уравнение, получим

. (3.15)

Решая уравне6ние (3.15), найдем напряжение

(3.16)

Из (3.14) найдем напряжение на индуктивности

(3.17)

По закону Ома найдем токи ветвей

(3.16)

(3.17)

На рис. 3.7 приведена программа расчета токов и напряжений.

Рис. 3.7

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 3.8 при , , , и . Обозначим положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений ветвей, определим комплексные амплитуды источников и тока источника тока (проведите преобразования самостоятельно).

Рис. 3.8

В цепи два узла и ветви без идеальных источников тока. Запишем подсистему компонентных уравнений вида

(3.18)

По первому закону Кирхгофа запишем одно уравнение

, (3.19)

а по второму закону – два уравнения () вида

(3.20)

(внимательно разберитесь со знаками).

Подставляя (3.18) в (3.20) с учетом (3.19) получим систему уравнений для токов ветвей в виде

(3.21)

Из второго уравнения выразим ,

, (3.22)

и подставим его в (3.21), получим

(3.23)

Из второго уравнения (3.23) найдем ,

, (3.24)

и подставим его в первое, тогда

.

В результате найдем ток емкости (учтем, что )

(3.25)

Подставляя (3.25) в (3.24), определим ток индуктивности

(3.26)

а из (3.22) определим ток через сопротивление

. (3.27)

На рис. 3.9 приведена программа вычисления токов ветвей. Там же показана программа численного решения системы уравнений (3.21).

Рис. 3.9

Проведите вычисления самостоятельно, определите напряжения на элементах цепи, амплитуды и начальные фазы токов и напряжений.

Систему уравнений (3.21) можно записать в каноническом виде

и решить ее с помощью метода Крамера (приложение 1). Определитель (детерминант) системы равен

.

Токи ветвей определяются выражениями

где - определители, получающиеся из детерминанта заменой -го столбца () столбцом из свободных членов системы уравнений,

Программа расчета показана на рис. 3.10 (команда вычисления определителя находится в меню «Матрицы»).

Рис. 3.10

Для токов ветвей получим следующие выражения (сравните их (3.25)-(3.27))

Проведите вычисления самостоятельно, сравните с предыдущими результатами.

3.4. Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа [1]. В цепи выбираются ( - число ветвей цепи) независимых контуров, в каждом из них задается контурный ток и через контурные токи выражаются токи, а затем и напряжения ветвей, которые подставляются в уравнения второго закона Кирхгофа..

Рассмотрим простую цепь, показанную на рис. 3.11 при , и . Каноническая форма тока источника , тогда его комплексная амплитуда равна , а частота рад/с. Обозначим токи и напряжения ветвей и контурные токи и .

Рис. 3.11

Выразим токи ветвей через контурные токи (через емкость протекает ток и встречно ему ток , а через сопротивление только ток )

(3.28)

Контурный ток протекает через идеальный источник тока, следовательно он равен току источника ,

. (3.29)

По закону Ома выразим через контурные токи напряжения ветвей

(3.30)

Для второго контура запишем уравнение второго закона Кирхгофа

.

Подставляя (3.30), получим

(3.31)

а с учетом (3.29) можно записать

откуда найдем контурный ток

(3.32)

С помощью (3/28) найдем токи ветвей

(3.33)

(3.34)

Напряжение на элементах равно

(3.35)

Проведите вычисления самостоятельно, определите амплитуды и начальные фазы токов и напряжений.

Определим токи и напряжения в цепи, показанной на рис. 3.12 при , , и . Комплексная амплитуда ЭДС равна , а частота рад/с. Обозначим токи и напряжения ветвей и контурные токи и .

Рис. 3.12

Через индуктивность протекает ток , ток через сопротивление равен разности контурных токов , а ток емкости равен , тогда токи ветвей можно записать в виде

(3.36)

Выразим через контурные токи напряжения ветвей

(3.37)

В цепи на рис. 3.11 запишем уравнения второго закона Кирхгофа ()

(3.38)

Подставляя (3.37) в (3.38), получим

(3.39)

Из второго уравнения (3.39) выразим

(3.40)

и подставим его в первое уравнение (3.39), тогда

а после преобразования получим

(3.41)

Из (3.40) найдем ток

. (3.42)

Подставляя (3.42) в (3.36), получим токи ветвей

Программа расчета токов ветвей приведена на рис. 3.13.

Рис. 3.13

Проведите вычисления самостоятельно, желательно с помощью калькулятора и программы, определите напряжения на элементах цепи, амплитуды и начальные фазы токов и напряжений.

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 3.14 (ранее она рассмотрена на рис. 3.6) при , , и . Введем условные обозначения и положительные направления токов и напряжений элементов цепи, обозначим их комплексные амплитуды.

Рис. 3.14

Комплексные амплитуды источников равны и , частота . Выразим токи ветвей через контурные токи,

(3.43)

и найдем напряжения ветвей

(3.44)

В цепи и число ветвей, не содержащих идеальные источники тока, равно . Число независимых контуров равно , тогда для контура с током получим уравнение второго закона Кирхгофа

(3.45)

Для контура с током исходя из определения идеального источника тока получим

. (3.46)

Из (3.44) – (3.46) можно записать

, (3.47)

тогда

. (3.48)

Токи ветвей равны

(3.49)

Выполняется первый закон Кирхгофа (проверьте это самостоятельно).

Для напряжений ветвей получим

(3.50)

Выполняется уравнение второго закона Кирхгофа (3.45).

Определим напряжение на индуктивности

Мгновенные значения напряжения описываются выражением

.

3.5. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа и требует составления уравнений. В цепи выделяются узлов, один из них объявляется базисным, а для остальных задаются узловые напряжения с положительным направлением в базисный узел [1]. Через узловые напряжения выражаются токи ветвей и подставляются в уравнения первого закона Кирхгофа.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 3.15 при , и (ранее она рассмотрена на рис. 3.10). Каноническая форма тока источника , тогда его комплексная амплитуда равна , а частота рад/с.

В цепи два узла, нижний узел объявляется базисным, вводится узловое напряжение . Определим токи ветвей

(3.51)

Рис. 3.15

Запишем уравнение первого закона Кирхгофа

,

тогда с учетом (3.51) получим уравнение метода узловых напряжений

. (3.52)

Из (3.52) найдем узловое напряжение

. (3.53)

Тогда токи ветвей равны

, (3.54)

. (3.55)

Численные расчеты уже проведены для цепи на рис. 3.10 (повторите их самостоятельно и сравните результаты).

Определим ток в сопротивлении в цепи, показанной на рис. 3.16 при , , и (она рассмотрена на рис. 3.12). Комплексная амплитуда ЭДС равна , а частота рад/с.

Рис. 3.16

Выразим токи ветвей через узловое напряжение. Для ветви с индуктивностью запишем уравнение второго закона Кирхгофа

С учетом закона Ома

получим

,

тогда

. (3.56)

Токи в сопротивлении и емкости равны

, (3.57)

. (3.58)

По первому закону Кирхгофа запишем одно уравнение (в цепи два узла)

. (3.59)

Подставляя в (3.59) токи из (3.56) – (3.58), получим уравнение метода узловых напряжений (потенциалов)

. (3.60)

Найдем узловое напряжение

, (3.61)

тогда для напряжений ветвей получим

, (3.62)

, (3.63)

а искомый ток через сопротивление равен

. (3.64)

Подставляя исходные данные, получим

тогда мгновенные значения тока определяются выражением

.

Проведем расчет напряжения на индуктивности в цепи, показанной на рис. 3.17 (ранее она была рассмотрена на рис. 3.6 и рис. 3.14) при , , и . Введем условные обозначения и положительные направления токов и напряжений элементов цепи, обозначим их комплексные амплитуды. Комплексные амплитуды источников равны и , частота .

Рис. 3.17

По второму закону Кирхгофа и закону Ома получим

,

тогда ток равен

. (3.65)

Ток индуктивности найдем по закону Ома

. (3.66)

По первому закону Кирхгофа запишем одно уравнение

.

Подставляя в него (3.65) и (3.66), получим уравнение метода узловых напряжений

. (3.67)

Решая уравнение, получим

. (3.68)

Напряжение на индуктивности равно , тогда

. (3.69)

Подставляя исходные данные, получим

тогда мгновенные значения имеют вид

.

Рассчитаем напряжение на сопротивлении в цепи, показанной на рис. 3.18, при , , , и . Комплексные амплитуды источников равны и . Обозначим положительные направления и условные обозначения токов и напряжений, введем два узловых напряжения (в цепи три узла).

Рис. 3.18

Выразим токи ветвей через узловые напряжения. Для контура с элементами , и запишем уравнение второго закона Кирхгофа

,

тогда с учетов

получим

. (3.70)

Для контура с элементами , и по второму закону Кирхгофа

,

и по закону Ома

тогда ток равен

. (3.71)

Токи в сопротивлении индуктивности определя-

ются по закону Ома

. (3.72)

. (3.73)

По первому закону Кирхгофа записываем уравнения

(3.74)

Подставляя в (3.74) выражения (3.70) – (3.73), получим по методу узловых напряжений систему из двух уравнений

(3.75)

Преобразуя, получим

(3.76)

Из второго уравнения (3.76) выразим

(3.77)

и подставим его в первое, тогда

.

Преобразуя, для узлового напряжения получим

. (3.78)

Узловое напряжение найдем из (3.77),

,

а после алгебраических преобразований получим

. (3.79)

Комплексная амплитуда напряжения на сопротивлении равна

. (3.79)

На рис. 3.19 приведена программа расчета .

Рис. 3.19

Проведите вычисления самостоятельно с помощью калькулятора и программы. В результате получим , и выражение для мгновенных значений искомого напряжения

.

3.6. Метод наложения

По методу наложения реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников равна сумме тех же реакций на действие каждого из источников в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены (идеальные источники напряжения заменены коротким замыканием, а источники тока – разрывом цепи) [1].

Проведем расчет напряжения на индуктивности в цепи, показанной на рис. 3.20 (ранее она была рассмотрена на рис. 3.6, рис. 3.14 и рис. 3.17) при , , и . Введем условные обозначения и положительные направления токов и напряжений элементов цепи, обозначим их комплексные амплитуды. Комплексные амплитуды источников равны и , частота .

Рис. 3.20

Выключим источник тока (заменим его холостым ходом – разрывом цепи), получим схему на рис. 3.21а.

Рис. 3.21

Искомое напряжение (реакция цепи) определяется по закону Ома

. (3.80)

Выключим источник напряжение (заменим его коротким замыканием), схема показана на рис. 3.21б. В ней по закону Ома найдем

. (3.81)

Результирующее напряжение на индуктивности по методу наложения равно

. (3.82)

Подставляя исходные данные, получим

и мгновенные значения напряжения имеют вид

.

Определим ток индуктивности в цепи на рис. 3.22 при , , , и . Комплексные амплитуды ЭДС равны , , а частота рад/с. Обозначим токи и напряжения ветвей.

Рис. 3.22

Выключим источник напряжения , получим цепь на рис. 3.23а. Проведем ее расчет методом узловых напряжений. Выразим через напряжение все токи ветвей

(3.82)

Рис. 3.23

Из уравнения первого закона Кирхгофа с учетом (3.82) получим уравнение

, (3.83)

из которого определим узловое напряжение ,

. (3.84)

Выключим источник напряжения , получим схему, показанную на рис. 3.23б. Проведем ее расчет методом узловых напряжений. Выразим через напряжение все токи ветвей

Для контура с источником напряжения по второму закону Кирхгофа запишем

,

тогда ток ветви равен

. (3.85)

Остальные токи ветвей по закону Ома равны

(3.86)

(обратите внимание на знак в первом уравнении).

Из уравнения первого закона Кирхгофа с учетом (3.85) и (3.86) получим

, (3.87)

из которого определим узловое напряжение ,

. (3.88)

Складывая по методу наложения (3.84) и (3.88), получим комплексную амплитуду узлового напряжения

. (3.89)

Ток индуктивности найдем из (3.82) и (3.84)

. (3.90)

Аналогично ток определяется из (3.86) и (3.88)

. (3.91)

Складывая токи (3.90) и (3.91), получим комплексную амплитуду тока индуктивности

. (3.90)

Подставим исходные данные

Преобразуя, получим

Амплитуда тока равна а начальная фаза , тогда

.

Очевидно, искомый ток целесообразней определить методом узловых напряжений. Проведите этот расчет самостоятельно, сравните результаты.

3.7. Теорема об эквивалентном источнике

Теорема об эквивалентном источнике (теорема Тевенена) формулируется в двух вариантах применительно к источникам напряжения и тока [1].

Линейный активный двухполюсник можно заменить эквивалентным реальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению холостого хода (на разомкнутых выводах) активного двухполюсника, и с внутренним сопротивлением, равным сопротивлению пассивной части активного двухполюсника (его сопротивлению при выключенных источниках, когда идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока – разрывом цепи).

Линейный активный двухполюсник можно заменить эквивалентным реальным источником тока, ток которого равен току короткого замыкания (при замкнутых выводах) активного двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной части активного двухполюсника.

Определим ток в емкости в цепи, показанной на рис. 3.24 при , , . Комплексная амплитуда ЭДС равна , а частота рад/с.

Рис. 3.24

Выделим ветвь с искомым током (емкость), как показано на рис. 3.25а, а остальную часть цепи представим как активный двухполюсник (выделен пунктиром), отдельно его схема показана на рис. 3.25б.

Рис. 3.25

С помощью закона Ома определим напряжение холостого хода активного двухполюсника (рис. 3.25б)

, (3.91)

а эквивалентное (внутреннее) сопротивление активного двухполюсника при выключенных источниках (рис. 3.25в) равно

. (3.92)

Заменяя активный двухполюсник эквивалентным реальным источником напряжения, получим схему, показанную на рис. 3.25г, для которой с помощью закона Ома получим

(3.93)

Подставляя исходные данные, получим

Мгновенные значения тока запишем в виде

Проведем расчет напряжения на индуктивности в цепи на рис. 3.26а (она была рассмотрена на рис. 3.20) при , , и . Комплексные амплитуды источников равны и , частота .

Рис. 3.26

Выделим активный двухполюсник (рис. 3.26б) и изобразим его отдельно (рис. 3.26в). Методом наложения найдем напряжение холостого хода

Дата добавления: 2015-07-08