Положительные направления

(стрелками) и условные обозначения всех токов и напряжений для всех элементов цепи. В данном случае ток в последовательно соединенных сопротивлениях одинаков.

Общее сопротивление цепи относительно клемм источника (сопротивление двух последовательно соединенных элементов и ) равно сумме их сопротивлений, тогда по закону Ома общий ток в цепи равен

Для напряжений на элементах получим

,

.

Для проверки воспользуемся вторым законом Кирхгофа в виде

,

(убедитесь в правильности полученных результатов).

Рассмотрим цепь с идеальным источником тока, показанную на рис. 1.2. Зададим положительные направления и условные обозначения токов и напряжений (элементы и включены параллельно, поэтому напряжения

Рис. 1.2 на них одинаковы и равны ).

Примем , и .

В цепи источника протекает ток , а к источнику тока подключены параллельно соединенные элементы и с общим сопротивлением

,

тогда общее напряжение равно

.

Токи в ветвях и вычисляются по закону Ома:

,

.

Для проверки воспользуемся уравнением первого закона Кирхгофа в виде

(убедитесь в правильности полученных результатов).

Рассмотрим более сложную цепь на рис. 1.3, в которой присутствует смешанное соединение ветвей , и . Элементы и соединены параллельно и к ним последовательно подключен элемент .

Рис. 1.3

Параметры цепи выберем равными , , и . Введем положительные направления и условные обозначения токов и напряжений (рис. 1.3).

В смешанной цепи выделяем фрагмент с простым параллельным соединением элементов и . Его сопротивление равно

.

Этот фрагмент подключен к последовательно, как показано на эквивалентной схеме рис. 1.4, тогда общее сопротивление цепи относительно точек подключения источника равно

.

Рис. 1.4

Общий ток в цепи по закону Ома равен

,

тогда определим напряжение на элементе

.

Напряжение на параллельном соединении сопротивлений и равно

.

Для проверки убедитесь в выполнении второго закона Кирхгофа,

.

Определим токи в элементах и

,

.

Убедитесь в выполнении уравнения первого закона Кирхгофа

.

Рассмотрим пример расчета цепи с источником тока, схема которой приведена на рис. 1.5, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .

Вычислим общее сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединен-

ных сопротивлений и ),

Рис. 1.5

.

Тогда напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно

В.

Затем можно найти токи ветвей

А,

А.

Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде .

Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)

В,

В.

По второму закону Кирхгофа (проведите проверку самостоятельно).

1.3. Общий метод расчета цепи на основе законов Ома

и Кирхгофа

Общий метод расчета токов и напряжений в электрической цепи на основе законов Ома и Кирхгофа пригоден для расчета сложных цепей с несколькими источниками сигнала.

Расчет начинается с задания обозначений и положительных направлений токов и напряжений для каждого элемента (сопротивления) цепи.

Система уравнений включает в себя подсистему компонентных уравнений, связывающих по закону Ома токи и напряжения в каждом элементе (сопротивлении) и подсистему топологических уравнений, построенную на основе первого и второго законов Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа записывается уравнений, где - число узлов в цепи.

По второму закону Кирхгофа записываются уравнений, где - число ветвей в цепи, не содержащих идеальные источники тока.

Рассчитаем токи и напряжения в простой цепи на рис. 1.3 при тех же исходных данных.

В цепи имеется два узла () и три ветви, не содержащие идеальных источников тока (), то есть имеем два

() независимых контура. Обозначим положительные направления обхода контуров (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Запишем подсистему компонентных уравнений

(1.2)

По первому закону Кирхгофа необходимо записать одно уравнение (),

, (1.3)

и два уравнения по второму закону Кирхгофа (),

, (1.4)

которые образуют подсистему топологических уравнений. Объединяя полученные уравнения в систему и подставляя (1.2) в (1.4), получим систему уравнений для токов ветвей

(1.5)

Из первого уравнения ток подставим во второе, получим

(1.6)

Из второго уравнения (1.6) выразим ток ,

, (1.7)

и подставив его в первое уравнение, получим

. (1.8)

Из (1.8) определим ток

. (1.9)

Подставляя (1.9) в (1.7), найдем ток

, (1.10)

и из (1.3) получим ток

, (1.11)

Подставляя в (1.9)-(1.11) исходные данные , , и , получим значения токов цепи А, А и А, что совпадает с результатами расчета для цепи на рис. 1.3. Напряжения на элементах определяются из компонентных уравнений (1.2). На рис. 1.7 приведен листинг программы расчета токов и напряжений.

Рис. 1.7

Систему уравнений (1.5) можно решить по правилу Крамера с использованием определителей (приложение 1 ). Для этого запишем ее в каноническом виде

Детерминант (определитель) системы равен

и положителен, то есть система уравнений имеет единственное решение, равное

где - определители, получающиеся из детерминанта заменой -го столбца () столбцом из свободных членов системы уравнений,

В результате для токов ветвей получим

Что полностью совпадает с полученными методом подстановки результатами.

Для расчетов определителей и решения системы уравнений можно воспользоваться пакетом MathCAD, листинг программы показан на рис. 1.8. Как видно, получены те же результаты.

Рис. 1.8

Рассмотрим расчет цепи, показанной на рис. 1.5, при тех же исходных данных. Схема цепи с указанным направлением обхода контура приведена на рис. 1.9.

Подсистема компонентных уравнений на базе закона Ома для каждого эле-

Рис. 1.9 мента цепи имеет вид

(1.12)

В цепи имеется два узла () и две ветви, не содер-

жащие идеальных источников тока (). Следовательно, необходимо записать одно уравнение () по первому закону Кирхгофа,

, (1.13)

и одно уравнение второго закона Кирхгофа (),

, (1.14)

которые и образуют подсистему топологических уравнений.

Уравнения (1.12) - (1.14) являются полной системой уравнений цепи. Подставляя (1.12) в (1.14), получим

, (1.15)

а, объединив (1.13) и (1.15), получим два уравнения с двумя неизвестными токами ветвей,

(1.16)

Выражая из первого уравнения (1.16) ток и подставляя его во второе, найдем значение тока ,

А,

а затем найдем А. По вычисленным токам ветвей из компонентных уравнений (1.12) определим напряжения. Результаты расчета совпадают с полученными ранее для цепи на рис. 1.5.

Рассмотрим цепь с двумя источниками сигнала, показанную на рис. 1.10 при , , , .

Рис. 1.10

Подсистема компонентных уравнений имеет вид

(1.17)

В цепи имеется два узла () и две ветви, не содержащие идеальных источников тока (). Следовательно, необходимо записать одно уравнение () по первому закону Кирхгофа,

, (1.18)

и одно уравнение второго закона Кирхгофа (),

, (1.19)

Подставляя (1.17) в (1.19), получим систему уравнений для токов цепи

(1.20)

Ток из первого уравнения (1.20) подставим во второе, тогда получим уравнение

, (1.21)

из которого найдем ток ,

(1.22)

Подставляя исходные данные, получим

,

А из первого уравнения (1.20) соответственно

.

Напряжения на элементах согласно (1.17) равны

Проверьте выполнимость первого и второго законов Кирхгофа для полученных результатов.

Проведите аналогичный расчет при , , , , объясните полученные результаты.

1.4. Метод контурных токов

Метод контурных токовбазируется науравнениях второго закона Кирхгофа [1] и приводит к необходимости решения уравнений, - число всех ветвей, в том числе и содержащих идеальные источники тока.

В цепи выбираются независимых контуров и для каждого -го из них вводится кольцевой (замкнутый) контурный ток (двойная индексация позволяет отличать контурные токи от токов ветвей). Через контурные токи можно выразить все токи ветвей и для каждого независимого контура записать уравнения второго закона Кирхгофа. Система содержит уравнений, из которых определяются все контурные токи. По найденным контурным токам находятся токи или напряжения ветвей (элементов).

Рассмотрим пример цепи на рис. 1.5 при А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. На рис 1.11 приведена схема с указанием обозначений и положительных напралений двух контурных токов и

Рис. 1.11 (, , ).

Через ветвь протекает только контурный ток и его направление совпадает с , поэтому ток ветви равен

. (1.23)

В ветви протекают два контурных тока, ток совпадает по направлению с , а ток имеет противоположное направление, следовательно

. (1.24)

Для контуров, не содержащих идеальные источники тока, составляем уравнения второго закона Кирхгофа с использованием закона Ома, в данном примере записывается одно уравнение

. (1.25)

Если в контур включен идеальный источник тока, то для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а его контурный ток равен току источника с учетом их положительных направлений, в рассматриваемом случае

. (1.26)

Тогда система уравнений метода контурных токов принимает вид

. (1.27)

В результате подстановки второго уравнения в первое из (1.27) получим

, (1.28)

тогда ток равен

А, (1.29)

а ток А. Из (1.23) А, а из (1.24) соответственно А, что полностью совпадает с полученными ранее результатами. По найденным значениям токов ветвей по закону Ома вычислим напряжения на элементах цепи рис. 1.5,

,

,

.

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 1.12 при , , и (она уже рассматривалась на рис. 1.3). Зададим положительные направления и условные обозначения всех контурных токов, токов и напряжений ветвей.

Рис. 1.12

В цепи два узла и три ветви , тогда по второму закону Кирхгофа с учетом закона Ома необходимо составить два уравнения () метода контурных токов,

Выразим токи ветвей через контурные токи,

(1.30)

а через них найдем напряжения на элементах,

(1.31)

Записав уравнения второго закона Кирхгофа,

и подставив в них (1.31), получим уравнения метода контурных токов в виде

(1.32)

Из первого уравнения (1.32) выразим ток

(1.33)

и подставим его во второе, тогда получим выражение

из которого определим ток ,

. (1.34)

Из (1.33) найдем ток ,

. (1.35)

Подставляя исходные данные, из (1.34) и (1.35) получим значения контурных токов и , тогда из (1.30) определим токи ветвей , и . Напряжения ветвей определяются из (1.31): , и . Результаты совпадают с полученными ранее для цепи на рис. 1.3.

Проведем расчет токов и напряжений в цепи на рис.1.10 методом контурных токов, как показано на рис. 1.13, при следующих исходных данных: , , , .

Рис. 1.13

В цепи два узла и три ветви, тогда необходимо ввести два контурных тока (рис. 1.13). Ток протекает в контуре с идеальным источником тока (противоположен ему), следовательно . Выразим токи ветвей через контурные токи,

(1.36)

тогда для первого контура по второму закону Кирхгофа и закону Ома получим

.

В результате получим систему уравнений по методу контурных токов в виде

(1.37)

Подставляя второе уравнение в первое, получим

и найдем ток ,

. (1.38)

Подставляя исходные данные, получим , тогда из (1.36) найдем токи ветвей

Напряжения на элементах вычислите самостоятельно, сравните результаты с полученными ранее для цепи на рис. 1.9.

1.5. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа [1], при этом число уравнений равно .

В цепи выделяются все узлов и один из них выбирается в качестве базисного, которому присваивается нулевой потенциал. Потенциалы (напряжения) … остальных узлов отсчитываются от базисного, их положительные направления обычно выбираются стрелкой в базисный узел. Через узловые напряжения с использованием закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей и для узлов записываются уравнения первого закона Кирхгофа.

Рассмотрим пример цепи, показанной рис. 1.5 при А Ом, Ом, Ом, для метода узловых напряжений ее схема показана на рис. 1.14. Нижний узел обозначен как базисный (для этого используется символ «земля» - точка нулевого потенциала), напряжение верхнего узла относительно базисного обозначено

Рис. 1.14 как . Выразим через него

по закону Ома токи ветвей

(1.39)

По первому закону Кирхгофа с учетом (1.39) запишем единственное () уравнение метода узловых напряжений

. (1.40)

Решая его, получим

,

а из (1.39) определим токи ветвей

(1.41)

Результаты совпадают с полученными рассмотренными ранее методами (проведите численные вычисления самостоятельно).

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 1.3 при , , и . Введем обозначение и положительное направление единственного () узлового напряжения относительно выбранного базисного узла, отмеченного символом «земля» (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Выразим через токи ветвей. Для ветви с источником напряжения по второму закону Кирхгофа с использованием закона Ома можно записать

, (1.42)

откуда получим

. (1.43)

В сопротивлениях и токи определяются по закону Ома,

(1.44)

По первому закону Кирхгофа для цепи рис. 1.14 записывается одно уравнение вида

Подставляя в него (1.43) и (1.44), получим уравнение метода узловых напряжений

. (1.45)

Решая (1.45) определим узловое напряжение

(1.46)

Подставляя исходные данные, получим .

По найденному значению вычислим токи и напряжения в цепи:

Сравните их с полученными ранее результатами.

Проведем расчет цепи на рис. 1.16 (ранее он проводился для цепи на рис. 1.10) при , , , .

Рис. 1.16

Выберем базисным нижний узел и обозначим узловое напряжение . Выразим через него ток (это уже делалось в (1.42) и (1.43)),

. (1.47)

Найдем ток ,

. (1.48)

Запишем уравнение первого закона Кирхгофа

,

Тогда с учетом (1.47) и (1.48) получим уравнение метода узловых напряжений

. (1.49)

Решая его, найдем узловое напряжение

. (1.50)

Подставляя исходные данные, получим , тогда из (1.47) и из (1.48) , и (сравните самостоятельно с предыдущими результатами).

Рассмотрим более сложный пример цепи, показанной на рис. 1.17 с параметрами , , , , и . В цепи узла, нижний выбран базисным, а два остальные обозначены номерами в кружках.

Рис. 1.17

Введены положительные направления и обозначения токов и напряжений ветвей и узловых напряжений и .

Выразим напряжения на элементах цепи через узловые напряжения, используя второй закон Кирхгофа,

По закону Ома определим токи ветвей,

(1.51)

По первому закону Кирхгофа для узлов с номерами 1 и 2 необходимо составить два уравнения,

(1.52)

Подставляя (1.51) в (1.52), получим систему уравнений метода узловых напряжений,

(1.53)

После преобразования получим

(1.54)

Выразив из второго уравнения (1.54) ,

, (1.55)

из первого уравнения найдем

. (1.56)

Подставляя исходные данные, из (1.56) получим и из (1.55) .

Программа расчета узловых напряжений и токов ветвей приведена на рис. 1.18. Там же проведено численное решение системы уравнений, определены токи ветвей и проведена проверка полученных результатов с помощью законов Кирхгофа. Повторите проведенные расчеты и определите напряжения на элементах цепи.

Рис. 1.18

1.6. Метод наложения

Метод наложения заключается в следующем: реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников равна сумме реакций на действие каждого из них в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены [1].

Выключение идеальных источников означает замену:

- идеального источника напряжения коротким замыканием, так как его внутреннее сопротивление равно нулю;

- идеального источника тока холостым ходом (разрывом цепи) так как его внутреннее сопротивление стремится к бесконечности.

Расчет проводится следующим образом. В цепи, содержащей несколько источников, поочередно выбирается каждый из них, а остальные отключаются. При этом образуются цепи с одним источником, число которых равно количеству источников в исходной цепи. В каждой из них проводится расчет искомого сигнала, а результирующий сигнал определяется их суммой.

Проведем расчет цепи на рис. 1.19 при , , , (ранее она рассматривалась на рис. 1.10 и рис. 1.16).

Рис. 1.19

Выключим идеальный источник тока (заменим его разрывом цепи) и получим цепь, показанную на рис. 1.20а.

Рис. 1.20

По закону Ома определим ток

,

тогда напряжения и равны

Выключим идеальный источник напряжения (заменим его коротким замыканием) и получим схему, показанную на рис. 1.20б.

По закону Ома в соответствии с выбранными положительными направлениями определим напряжения

а токи ветвей соответственно равны

Складывая реакции цепи (токи и напряжения) со штрихом и двумя штрихами, получим искомые значения

Подставьте исходные данные и получите численные результаты, сравните их с полученными ранее. Проверьте выполнимость законов Кирхгофа

В цепи, показанной на рис. 1.21 (ранее она рассматривалась на рис. 1.17) с параметрами , , , , и определим напряжение на сопротивлении . Выключим источник тока и получим цепь, показанную на рис. 1.22а.

Рис. 1.21

Рис. 1.22

С помощью закона Ома в цепи рис. 1.22а определим напряжение на элементе ,

(проведите расчет самостоятельно). Аналогично в цепи на рис. 1.22б найдем напряжение на сопротивлении ,

,

а затем напряжение ,

.

Подставляя , получим

.

Сложив и , найдем искомое напряжение

.

Подставляя исходные данные, получим 5,739 В.

Проведите алгебраические и численные расчеты самостоятельно, объясните отрицательный знак перед током источника , Подставьте (1.56) в (1.55), проведите алгебраические преобразования и получите аналогичное выражение для напряжения . Сравните полученные результаты.

1.7. Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1 В цепи, показанной на рис. 1.23а, с параметрами , , , , и определите токи и напряжения ветвей с помощью:

- общего метода расчета на основе законов Кирхгофа;

- метода контурных токов.

Рис. 1.23

Сравните результаты с полученными ранее методом узловых напряжений для цепи на рис. 1.17.

Задание 1.2 В цепи, показанной на рис. 1.23б, при Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, В, А вычислите ток и напряжение с помощью

- общего метода расчета на основе законов Кирхгофа;

- метода контурных токов;

- метода узловых напряжений;

- метода наложения.

Сравните полученные результаты, проведите сравнительный анализ эффективности рассмотренных методов.

Дата добавления: 2015-07-08