Решение. а) . (На первый раз решаем с объяснением всех действий.)

Читайте также:

а) . (На первый раз решаем с объяснением всех действий.)

Метод интервалов обычно применяют при решении неравенств, в которых некоторая функция с конечным числом точек разрыва сравнивается с 0. (Подумайте, а можно ли решать методом интервалов неравенства, где сравнение идет с ненулевым числом?)

Итак, переносим число в левую часть неравенства и вводим функцию

; решаем неравенство методом интервалов.

1. непрерывна на . (Это обязательный комментарий, особенно для функций, не являющихся рациональными, т.е. для тех, для которых метод интервалов не входит в стандартные школьные учебники!)

Найдем корни уравнения :
Изобразим на числовой прямой все результаты предыдущих действий. (Масштаб соблюдать не обязательно, важен порядок взаимного расположения на прямой!) Числовая прямая при этом разбивается на промежутки.

В каждом из полученных интервалов нужно поставить знак (т.к. на нем нет ни точек разрыва функции, ни корней, и, следовательно, значения во всех точках интервала одного знака). Делать это можно двумя способами:

а) универсальный – «тестирование по произвольной (не граничной) точке»;

б) определяем знак в одном из промежутков либо способом а), либо по знаку предела функции (обычно в одном из крайних промежутков), либо (для рациональных функций) по знаку отношения коэффициентов при старших степенях переменной в числителе и в знаменателе – он совпадает со знаком, стоящим в крайнем правом промежутке (на + );

далее «шагаем» через отмеченные точки из интервала в интервал и определяем, меняется ли при этом знак функции. Осветим некоторые типичные случаи.

Знак при переходе через точку меняется, если или , где , не является ни корнем, ни точкой разрыва функции . Иногда говорят, что - корень нечетной кратности числителя или знаменателя функции (хотя для функций, не являющихся рациональными, это не очень корректно). Пример - .

Знак при переходе через точку не меняется, если или , где , не является ни корнем, ни точкой разрыва функции . (аналогично, - корень четной кратности числителя или знаменателя функции , с той же оговоркой). Пример - .

Знак при переходе через точку не меняется, если или , если или , где , - корень , не является ни корнем, ни точкой разрыва функции .

Совет по оформлению: «для комиссии» записывайте так, как будто Вы честно определяли знак каждого промежутка по знаку значения в произвольно взятой конкретной точке, т.к. этот способ не требует дополнительных объяснений. Кроме того, Вы же не обязаны предъявлять (якобы) найденное значение! Можно ограничиться указанием его знака.

Возвращаемся к решению заданного неравенства. Итак, «для комиссии»:

Внимательно смотрим на знак неравенства и выписываем ответ.

Не забудьте: в случае нестрогого неравенства выносим в ответ не только

промежутки с соответствующими знаками, но и корни функции! Могут

образоваться изолированные точки. Если на экзамене Вы получили ответ

без изолированных точек или промежутков, разделенных точкой разрыва,

проверьте еще раз! Помните: самой грубой ошибкой при решении примеров

методом интервалов является вынесение в ответ точек, не входящих

в область определения функции!

В нашем случае в неравенстве знак «<», т.е. в ответ выписываем промежутки с минусами, и никакие граничные точки не включаем – все скобки круглые.

Ответ. .

Следующие примеры рассматриваем не столь подробно, комментарии будут в скобках.

б) .

1. . .

непрерывна на ; в точках и непрерывна справа и слева соответственно.

Решаем неравенство методом интервалов.

2. .

(Знак функции совпадает со знаком квадратного трехчлена . Выпишем «Для комиссии»:)

Ответ. .

в)

1. .

непрерывна на как отношение непрерывных функций; решим неравенство методом интервалов.

2. ;

(Первая скобка числителя всегда положительна, так что на знак функции она не влияет.)

(На самом деле рассуждения были таковы: 1-я скобка числителя, модуль, 2-я степень и квадратный корень на знак не влияют; знак меняется только при переходе через точки .)

Ответ.

г) .

1. . непрерывна на как отношение непрерывных функций; решим неравенство методом интервалов.

Ответ. .

д) . «Круговой» метод интервалов!

«Круговой» метод интервалов можно применять для функций, имеющих период (не обязательно это должен быть наименьший период!). Действия остаютя теми же, но вместо числовой прямой используется тригонометрическая окружность.

непрерывна на ; решим неравенство методом интервалов.

3. Заметим, что удобно отмечать особыми символами точки, в которых знак не меняется, т.е. либо это корни четного количества множителей, либо корни не меняющего знак множителя (например, ; можно записать .) Хотя в данном случае точки - точки перемены знака, т.к. меняет здесь знак. Вообще, при расстановке знаков тригонометрических функций будьте максимально аккуратны. Теперь картинка: