Задание

Определите оптимальное количество станков , которое необходимо выпускать в год для оптимизации прибыли при следующих условиях функционирования фирмы:

· Цена продажи одного станка равна =96 млн. руб.

· Постоянные издержки фирмы равны = 330 млн. руб., переменные издержки равны =10,5×х+0,16×х² млн. руб.

· На отечественном рынке возможно продать только = 182 станков в год. Все остальная выпущенная продукция продается за границей за ту же цену, но с оплатой таможенной пошлины = 40 млн. руб. за каждый импортируемый станок.

· Для крупного выпуска продукции ( = 255 и более станков в год) необходимо в этом году заплатить экологическую пошлину, равную = 260 млн. руб.

Ø Сформулируйте оптимальное экономико-управленческое решение в имеющихся условиях.

Ø Дайте экономическое обоснование полученного решения.

Ø Приведите сравнение предлагаемого Вами плана выпуска станков с используемым ранее вариантом. Обоснуйте необходимость изменений.

Ø Приведите график зависимости прибыли от количества выпускаемой продукции. Обоснуйте свое решение с помощью графика.

Решение:

P=96×x – млн. руб. доход от продаж.

C_v = 10,5×x+0,16×x²

1) Определим градиент функции. В данном случае функции одной переменной градиент совпадает с производной. Если функция задана разными выражениями на разных интервалах, то нужно просто взять производные для каждого интервала. Они будут справедливы при строгом выполнении ограничивающих интервалы неравенств:

2) Определим точки, где производная равна нулю. Для этого определим все , удовлетворяющие равенствам:

Рассмотрим интервал . На нем имеем уравнение:

96-10,5-0,16×2х=0

Решая уравнение, находим

0,32х=85,5 => х=267,16

.

Это значение не принадлежит рассматриваемому интервалу: 267,16Ï182. Значит на указанном интервале нулей производной нет.

Рассмотрим интервал ,. На нем имеем уравнение:

96-10,5-0,16×2х-40=0

Решая уравнение, находим

0,32х=45 => х=142,19

Это значение не принадлежит рассматриваемому интервалу: 142,19Ï[182;255) Значит на указанном интервале нулей производной нет.

3) Определим точки. Найдем в них значение функции.

В точке х = 182 функция остается непрерывной. Ее значения с обеих сторон совпадают и равны:

Если выпускать 182 станков, то прибыль будет 9931,16 тыс. руб.

В точке х=255 функция остается непрерывной. Ее значения с обеих сторон совпадают и равны:

Если выпускать 255 станков, то прибыль будет 8444,44 тыс. руб.

4) Поведение функции на бесконечности можно не рассматривать, как в задачах экономики. Однако, если это сделать, то получим:

5) Поведение функции на 0;

6) Из всех найденных значений целевой функции выберем самое большое. Собираем все значения вместе:

Р(182) = 9931,16

Р(255) = 8444,44

Р(¥) = -¥

P(0)=-330

Как видно, наибольшее значение Р = 9931,16 достигается при х = 182

Таким образом, оптимальное управленческое решение будет таким:

Ø Необходимо привлечь изготавливать всего 182. В этом случае мы получим наибольшую прибыль, равную 9931,16 млн. рублей.

Ответить на вопросы, поставленные перед собой новым руководителем, можно так:

Ø Имеющееся количество выпускающихся 100 станков не оптимально. Необходимо начать выпускать 182 станка

Сделаем еще несколько замечаний.

Ø Если мы сравним суммы прибыли при текущем количестве рабочих (330 млн. руб.) и оптимальным (9931,16 млн. руб.), то видно, что прибыль меняется всего на 9601,16 тыс. руб. Необходимо как следует проанализировать, как стоит ли менять сложившийся вариант работы ради таких изменений. Для анализа необходимо уже будет учесть постоянные издержки. Если они велики, то прибыль с их учетом становится значительно меньше и дополнительные 9601,16 тыс. руб. в месяц являются уже существенным выигрышем.

Графическая интерпретация решения.

Построим на одном графике все три функции, описываемые уравнениями (4), (5), (6) (см рис. 1).

Из графика видно, что оптимум прибыли достигается примерно при 182 станках.

Дата добавления: 2015-07-10