Задание №8. Найти общее решение или решение задачи Коши для заданных дифференциальных уравнений

Найти общее решение или решение задачи Коши для заданных дифференциальных уравнений первого и второго порядка:

а)

б)

Решение:

а) Найдем общее решение дифференциального уравнения первого порядка . Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Поделим обе части уравнения на , тогда будем иметь:

Произведем почленное интегрирование правой и левой частей уравнения:

где С₁ – произвольная постоянная.

Выразим переменную y:

где С – произвольная постоянная.

б) Найдем решение задачи Коши с начальными условиями . Так предварительно найдем общее решение дифференциального уравнения второго порядка . Данное уравнение есть линейное уравнение с постоянными коэффициентами, неоднородное, правая часть есть функция специального вида. Общее решение подобного типа уравнение может быть найдено следующим образом:

1) находим решение соответствующего однородного уравнения путем решение характеристического уравнения . Откуда характеристические числа есть: - это комплексно-сопряженные числа вида , где α = 1; β = 1. Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: где С₁, С₂ – произвольные постоянные.

2) так как правая часть уравнения – есть функция специального вида то частное решение неоднородного уравнения может быть найдено в виде y_част = Q(x), или y_част = Ax+B, где A, B – неизвестные коэффициенты.

Значения постоянных A и B найдем путем подстановки частного решения в исходное уравнение.

Так будем иметь:

Тогда исходное уравнение будет иметь вид:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях правой и левой частей выражения, получим:

Тогда частное решение ДУ имеет вид:

Общее решение исходного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения (пункт 2) и общего решения соответствующего однородного уравнения (пункт 1):

где С₁, С₂ – произвольные постоянные.

Найдем частное решение ДУ с начальным условием . Так будем иметь:

Тогда решение задачи Коши будет иметь вид:

Ответ: а) общее решение ДУ есть , где С – произвольная постоянная;

б) решение задачи Коши имеет вид

Дата добавления: 2015-07-10