Контрольная работа №4

Задача 2. Решите данную задачу при помощи классической формулы вероятности.

В урне содержится 4 белых, 3 черных и 2 красных шара. Два игрока поочередно вытаскивают по одному шару без возвращения. Выигрывает игрок, который первым вытащит белый шар. Если вытаскивается красный шар, то объявляется ничья. Найти вероятности событий:

A = {выигрывает игрок, начавший игру}

B = {выигрывает второй участник}

C = {игра закончилась вничью}

Решение:

Так событие А состоит в том, что белый шар был вытащен первым игроком. Это возможно в следующих ситуациях: при 1-м вытаскивании белый шар вытащил первый игрок либо состоялось 3 вытаскивания: первый вытащил – черный шар, второй игрок вытащил – черный шар, а затем первый – белый шар. Таким образом, вероятность события А составит:

p(A) = p({1-ый вытащил белый}) + p({1-ый вытащил черный, 2-ой черный, 1-ый - белый}) =

=

Так событие B состоит в том, что белый шар был вытащен вторым игроком. Это возможно в следующих ситуациях: при 1-м вытаскивании первый игрок вытащил черный шар, а второй игрок при 2-м вытаскивании вытащил белый шар, либо состоялось 4 вытаскивания: первый вытащил – черный шар, второй игрок вытащил – черный шар, затем первый снова вынул черный шар, и только потом второй игрок вынул белый шар. Таким образом, вероятность события B составит:

p(B) = p({1-ый вытащил черный, 2-ой - белый}) +

+p({1-ый вытащил черный, 2-ой черный, 1-ый – черный, 2-ой - белый}) =

=

Так событие С состоит в том, что был вытащен красный шар любым из игроков. Это возможно в следующих ситуациях: при 1-м вытаскивании первый игрок вытащил красный шар, либо состоялось 2 вытаскивания: первый вытащил – черный шар, второй игрок вытащил – красный шар, либо первый вытащил – черный шар, второй – черный шар, первый – красный шар, либо первый – черный, второй – черный, первый – черный, второй - красный шар. Таким образом, вероятность события С составит:

p(С) = p({1-ый вытащил красный шар}) + p({1-ый вытащил черный, 2-ой - красный }) +

+ p({1-ый вытащил черный, 2-ой – черный, 1-ый - красный}) +

+ p({1-ый вытащил черный, 2-ой – черный, 1-ый – черный, 2-ой красный}) =

=

Ответ:

Задача 3. Решите данную задачу при помощи формул полной вероятности или Байеса.

Имеется 10 одинаковых урн. Известно, что в семи урнах находится по 3 белых и 5 черных шара, а в трех урнах – по 2 белых и 6 черных шара. Из случайно выбранной урны вытащили 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар вытащили из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шара, если извлеченный шар оказался белым.

Решение:

Вероятность может быть определена с помощью формулы Байеса:

где А – искомое событие,

H₁, H₂, … H_n – полная система гипотез.

В нашем случае событие А состоит в том, что из случайно выбранной урны был вытащен шар белого цвета. Так полная система гипотез будет иметь вид: H₁ – шар вытащен из урны 1-го типа (содержит 3 белых и 5 черных шара), H₂ – шар вытащен из урны 2-го типа (содержит 2 белых и 6 черных шара).

Так как у нас имеется 10 урн, 7 из которых первого типа и 3 - второго типа, то .

Вероятности - вероятность того, что из урны первого типа будет вытащен белый шар (всего в урне 8 шаров, 3 из которых белого цвета), - вероятность того, что из урны второго типа будет вытащен белый шар (всего в урне 8 шаров, 2 из которых белого цвета).

Вероятность того, что из произвольной урны будет вытащен белый шар может быть определена по формуле:

.

Тогда вероятность того, что белый шар был вытащен из урны содержащей 3 белых и 5 черных шара, то есть из урны первого типа, составит по формуле Бернулли:

Ответ:

Задача 4. Решите данную задачу при помощи формулы Бернулли либо (если число испытаний велико) при помощи локальной или интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Вероятность искажения одного знака при передаче сообщение равна 0,005. Найти вероятность того, что в сообщении из 1000 знаков искажено не более 3-х знаков.

Решение:

Вероятность того, что при n испытаниях событие произойдет ровно k раз, может быть определена по формуле Бернулли:

где p – вероятность осуществления события при каждом испытании,

q = 1 – p – вероятность неосуществления события при каждом испытании,

- число сочетаний из n по m,

n! = n·(n-1)·(n-2)·…·2·1,

1! = 1,

0! = 1.

При этом вероятность того, что при n испытаниях событие осуществиться в количестве m от k₁ до k₂ раз может быть определена по формуле:

Однако в нашем случае число n = 1000 очень велико, вероятность ошибки в каждом случае равна p = 0.005, поэтому использование стандартной формулы будет достаточно проблематично и сложно с вычислительной точки зрения. В этом случае можно воспользоваться приближенной формулой Муавра-Лапласа:

где - функция Лапласа, значения которой затабулированы,

- среднее значение,

- среднеквадратическое отклонение,

p – вероятность осуществления события в каждом испытании,

q = 1 – p – вероятность «неосуществления» события в каждом испытании.

Так будем иметь p = 0.005, тогда q = 0.995, n = 1000, k₁ = 0, k₂ = 3, a = 1000 · 0.005 = 5, . Тогда искомая вероятность составит:

Ответ: вероятность того, что в сообщении из 1000 знаков искажено не более 3-х знаков составит 0,17246.

Задача 5. Из урны, содержащей 5 белых и 4 черных шара, извлекли наугад 2 шара. Случайная величина X – число извлеченных белых шаров. Требуется:

1) Составить закон распределения случайной величины X;

2) Вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

3) Вычислить P{X≤1}.

Решение:

Составим закон распределения случайной величины X – число извлеченных белых шаров среди трех, выбранных из урны наугад. Возможные значения величины X:

0 – нет белых шаров;

1 – 1 белый шар;

2 – 2 белых шара.

Определим вероятности каждого из значений величины X.

Так вероятность того, что нет ни одного белого шара составит:

Действительно, всего в урне находится 9 шаров (5 белых и 4 черных) из них наудачу выбирается 2 шара. Если нет ни одного белого шара, то это означает, что первый извлеченный шар был черного цвета (4 из 9-ти шаров) и второй шар был черного цвета (3 из 8-ми).

Аналогично:

Заметим, что выполнено условие нормировки:

.

Таким образом, закон распределения случайной величины X может быть представлен в виде следующей таблицы:

xk
pk

Математическое ожидание M(X) случайной величины X может быть определено по формуле:

То есть в среднем будет вытащено 1,111 белых шаров.

Дисперсия D(X) случайной величины X может быть определена по формуле:

где - математическое ожидание квадрата случайной величины X.

Так будем иметь:

,

откуда дисперсия составит:

Вероятность того, что значение случайной величины X принимает значение менее либо равное 1, составит:

Ответ:

Задача 6. Задана функция F(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины X. Требуется:

1) Найти значение неизвестного параметра a;

2) Найти плотность распределения вероятностей f(x);

3) Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

4) Вычислить вероятность

Решение:

Интегральная функция распределения F(x) случайной величины X связана следующим соотношением с функцией плотности f(x):

Таким образом, будем иметь:

Для определения значения параметра с применим условие нормировки:

Тогда в нашем случае будем иметь:

Таким образом, функция плотности распределения случайной величины X имеет вид:

А функция распределения вероятностей будет иметь вид:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины может быть определено по формуле:

Дисперсия может быть определена по формуле:

где - математическое ожидание квадрата случайной величины X.

Так будем иметь:

тогда будем иметь:

Вероятность того, что случайная величина X принимает значения от x₁ до x₂ может быть определена по формуле:

Таким образом, вероятность составит:

Ответ:

Задача 7. Совместное распределение случайных величин задано указанием их возможных значений и вероятностей . Требуется:

1) Составить законы распределения случайных величин ;

2) Вычислить математические ожидания суммы и произведения этих случайных величин;

3) Вычислить коэффициент корреляции;

= –4, = – 2, = 1; = 2, = 3, = 4; =

Решение:

Для нахождения вероятностей воспользуемся свойством 2) (см. методическое пособие): ; ; .

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) X имеет вид .

Для нахождения вероятностей воспользуемся свойством 3 методического пособия: ; ; .

Следовательно, закон распределения ДСВ Y имеет вид .

Возможные значения случайной величины Z = X + Y запишем в виде матрицы .

Так, например, значение Z = -2 получается в том случае, когда X = -4 и Y = 2.

Получим закон распределения ДСВ Z = X + Y:

.

Найдём сначала в виде матрицы возможные значения случайной величины Z = X Y:

Так, например, значение Z = -8 получается в том случае, когда X = -4 и Y = 2.

Получим закон распределения ДСВ Z = X Y:

.

Определим математические ожидания для случайных величин X и Y.

Так математическое ожидание X составит

,

а математическое ожидание случайной величины Y составит

.

По свойству математического ожидания имеем

M(X+Y)=M(X)+M(Y)=(–1.6)+3.13=1.53;

.

Дисперсии таковы:

; = = + 2 + – = ;

Вычислим теперь коэффициент корреляции :

Так как корреляционный момент , то коэффициент корреляции составит .

Дата добавления: 2015-07-10