Задание №7

Дана функция f(x). Требуется:

• Разложить эту функцию в ряд Тейлора по степеням (x – x₀) и найти область сходимости данного ряда;
• Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке (-π; π);

Решение:

Разложение вряд Тейлора функции f(x) по степеням (x – x₀) имеет вид:

Применим формулу для разложения функции в ряд:

Тогда разложение функции по степеням (x – x₀) = (x – 1) может быть представлено как , то есть мы будем использовать разложение в ряд для функции g(x) с аргументом и умножим каждый член разложения на :

Область сходимости ряда .

Произведем разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид:

где

Так в нашем случае

…

a_2k = 0, k = 1, 2, …

…

Тогда разложение функции в ряд Фурье будет иметь вид:

Ответ: ряд Тейлора будет иметь вид , область сходимости ряда ;

разложение в ряд Фурье будет иметь вид:

Дата добавления: 2015-07-10