Задание №6

Контрольная работа №3

Задание №1

Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L параболы y = e^-x от точки A(0; 1) до точки B(-1; e).

Решение:

Линия L представлена на рис. ниже.

Тогда будем иметь:

Ответ:

Задание №2

Вычислить двойной интеграл , где область G задана неравенствами

Решение:

Построим область G – см. рисунок ниже. Область G – область, такая что:

переменная x изменяется от 1 до 2;

переменная y изменяется от до .

Таким образом, будем иметь:

Ответ:

Задание №6

Исследовать сходимость данных числовых рядов:

; ; .

Решение:

ü Для исследования вопроса сходимости ряда воспользуемся свойствами геометрической прогрессии. Так мы имеем дело с суммой двух геометрических прогрессий:

1-я с первым членом b₁ = 1 и множителем q = 2/5 и 2-я с первым членом b₁ = 1 и множителем q = 3/5. Как известно, сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле . Тогда сумма ряда будет иметь вид:

Так как сумма ряда конечна, то ряд - сходится.

ü Для исследования вопроса сходимости ряда применим признак Даламбера. Признак Даламбера состоит в следующем:

Если тогда

если q < 1, то ряд сходится,

если q > 1, то ряд расходится,

если q = 1, то необходимо дополнительное исследование; ряд может и сходиться, и расходиться.

Так в нашем случае будем иметь тогда:

Так как q =∞, то ряд раcходится.

ü Исследуем сходимость знакопеременного ряда . Проверим сходимость ряда, составленного из абсолютных значений ряда, то есть ряд . Если мы убедимся, что указанный ряд сходится, то можно будет сделать вывод, что исходный ряд – сходится абсолютно. Если же указанный ряд сходиться не будет, то потребуется дополнительное исследование на вопрос условной сходимости исходного ряда.

Для исследования вопроса сходимости ряда применим интегральный признак сходимости ряда:

пусть f(x) - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при x≥0. Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Так функция - непрерывная, неотрицательная и монотонно убывающая функция, определенная при x ≥ 2.

Вычислим определенный интеграл:

Так как интеграл сходится, то будет сходиться и ряд . Следовательно, и исходный (знакочередующийся) ряд сходится абсолютно.

Ответ: - сходится; - расходится; - сходится.

Дата добавления: 2015-07-10