Править] Обоснование

Метод Ньютона

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Содержание [убрать]

• 1 Описание метода
• 1.1 Обоснование
• 1.2 Геометрическая интерпретация
• 1.3 Алгоритм
• 1.4 Пример
• 2 Условия применения
• 2.1 Контрпримеры
• 2.2 Ограничения
• 3 Историческая справка
• 4 Обобщения и модификации
• 4.1 Метод одной касательной
• 4.2 Многомерный случай
• 4.3 Применительно к задачам оптимизации
• 4.4 Метод Ньютона — Рафсона
• 4.5 Применительно к задачам о наименьших квадратах
• 4.6 Метод Гаусса — Ньютона
• 4.7 Обобщение на комплексную плоскость
• 5 Литература
• 6 Примечания
• 7 См. также
• 8 Ссылки

Править] Описание метода

править] Обоснование

Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где — сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде , тогда:

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:

С учётом этого функция определяется выражением:

Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение^[1], и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения .

Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения ). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение лучше предыдущего .

Дата добавления: 2015-07-07