Сходимость последовательности

Будем рассматривать точки (вектора) в n -мерном пространстве: .

Говорят, что последовательность сходится к точке , если . Смысл в том, что классическое определение предела последовательности, формулируемое для скалярных величин, распространяется на последовательности векторов. При этом используется понятие нормы вектора. А так как норма – скалярная величина, то предел последовательности норм понимается в обычном, классическом смысле. Чаще всего используется евклидова норма, т.е. длина вектора. Однако, в принципе, можно применять и другие допустимые нормы. Поэтому предел последовательности, строго говоря, однозначно не определен. Он может быть разным при использовании разных векторных норм.

Говорят, что последовательность сходится к линейно, если существуют такое число и такой номер , что при . Если можно построить последовательность такую, что , то говорят, что сходится к сверхлинейно. Практически линейная сходимость означает, что на каждом шаге приближения к пределу расстояние до него уменьшается в одно и то же число раз (полтора, два, три, пять, десять и т.п.). При сверхлинейной сходимости чем ближе последовательность к своему пределу, тем быстрее уменьшается расстояние до него. Например, последовательность сходится к нулю линейно при коэффициенте , а последовательность сходится к нулю сверхлинейно, так как .

Говорят, что последовательность сходится к с порядком p, если существуют такие числа и такой номер , что при . Например, последовательность, в которой , а при , сходится с порядком 2, т.е. квадратично. Сравнивая эту последовательность с двумя предыдущими, можно заметить, что вначале она сходится медленно, как линейная, а затем даже быстрее, чем сверхлинейная.

Пусть теперь – последовательность приближений к точному решению системы уравнений (или, в частном случае, единственного уравнения), генерируемая некоторым численным методом. Скоростью сходимости метода на k -м шаге решения называется величина , характеризующая приближение к решению за один шаг. Чем больше скорость сходимости, тем быстрее уменьшается ошибка приближенного решения, и наоборот. Если скорость сходимости равна единице, то метод не сходится. Из определения видно, что скорость сходимости метода – величина не постоянная и может меняться в процессе решения уравнения (системы уравнений). Если последовательность приближений сходится к решению линейно, то скорость сходимости остается примерно постоянной и . При сверхлинейной сходимости и сходимости порядка скорость сходимости метода увеличивается по мере приближения к решению.

Из рассмотренных методов метод дихотомии сходится линейно, метод хорд – сверхлинейно, а метод Ньютона – квадратично.

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ МЕТОДА НЬЮТОНА определяются следующей теоремой:

Если на отрезке функция такова, что и существуют не равные нулю и знакопостоянные производные , то для любого начального приближения , удовлетворяющего условию метод Ньютона сходится к единственному на корню уравнения . Серьезные вычислительные проблемы возникают, если . Если же производная равна нулю в единственной точке , то решение может быть найдено, но сходимость замедляется и становится линейной.

Дата добавления: 2015-07-08