Задания по МАТЕМАТИКЕ

М-1: При бомбардировке гипотетического ядра некоторыми атомами вероятность попадания равна 0,3. Какова вероятность того, что в ядро проникнет лишь третий по счёту вылетающий атом?

ОТВЕТ: 0,3· 0,3· 0,7 = 0,063, так как каждый промах происходит с вероятностью 0.3, попадание – с вероятностью 0,7, а попадание с третьего раза требует совокупности из двух промахов и одного попадания. 2 балла

М-2: Найти сумму ряда (с ошибкой не более 1% от правильного ответа):

ОТВЕТ: 0,99.

РЕШЕНИЕ: Заметим, что .

Тогда . 4 балла

М-3: В далеком королевстве правитель решил подарить всем заключенным шанс на помилование. Он решил выдать каждому из них 10 зеленых и 10 красных яблок. Он также дал каждому два сосуда, и заключенные должны были разложить в них все имеющиеся яблоки, положив хотя бы по одному в каждый сосуд. После этого король случайным образом выбирал сосуд, а потом из него случайным образом брал одно яблоко. Если оно оказывалось зеленым - заключенному даровалось помилование. Как должен был разложить яблоки по сосудам заключенный, если он хотел иметь максимальную вероятность помилования? Чему она равна?

ОТВЕТ: Он должен положить одно зелёное яблоко в один сосуд, а остальные (10 красных и 9 зелёных) – в другой. Тогда вероятность помилования равна . 6 баллов

М-4: Рассмотрим правильный треугольник со стороной длины 7, разделенный на треугольники со стороной 1, как показано на рисунке. Найдите количество путей из верхнего треугольника в средний треугольник нижнего ряда. Каждый последующий треугольник на пути должен иметь общую сторону с предыдущим, переходить из нижней строки в верхнюю нельзя, и на пути ни один из треугольников не должен встречаться дважды. Пример такого пути представлен на рисунке:

ОТВЕТ: 720.

РЕШЕНИЕ: Докажем, что для каждой клетки N-ой строки способов добраться до неё (N-1)!. Применим метод математической индукции:

База индукции: До каждой клетки второй строки, очевидно, 1! = 1 способ добраться.

Предположение индукции: Для каждой клетки K-ой строки способов добраться до неё (К-1)!.

Переход индукции: Возьмём некоторый треугольник (К+1) – ой строки. Очевидно, что если некоторым путём мы спустились на эту строку, то вариант попасть этим путем в данную треугольную клетку только один (так как нельзя снова подниматься вверх и потому что в каждый треугольник можно заходить по пути один раз). Следовательно, количество путей из К-ой строки в (К+1)-ую и есть количество путей из верхней клетки в данную. Посчитаем это количество путей. Очевидно, что перейти в (К+1)-ую строку из К-ой можно только из тех клеток К-ой строки, у которых с (К+1)-ой есть общая сторона (по условию). Так как в каждую из клеток К-ой можно перейти (К-1)! способами (по предположению индукции), а в К-ой строке нужных клеток ровно К, то общее кол-во путей в К-ую строку К*(К-1)! = К! = ((К+1)-1)!, что и требовалось доказать.

Применив данный метод к средней клетке 7-ой строки, получим количество путей 6! = 720.

Дата добавления: 2015-11-04