Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова

Как отмечено ранее, любые сигналы конечной длительности теоретически имеют бесконечно широкий спектр частот. В то же время доля энергии, передаваемая на высоких частотах, очень мала и ею при расчете полной энергии сигнала можно пренебречь. Следовательно, сигналы с ограниченным спектром являются удобными математическими моделями реальных сигналов.

В 1933 году В. А. Котельников доказал, что сигнал х (t) с ограниченной полосой частот, не имеющий спектральных компонент с частотами, которые превышают значение ω _в = 2π F _в, однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени [1]

Δ t = π / ω _в = 1/2 F _в.

Рис. 4.1. Временные диаграммы непрерывного сигнала s (t) и дискретизированного s _д(t)

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал s (t), достаточно передавать отсчёты s (k D t). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

(4.1)

Ряд Котельникова – это разложение сигнала s (t) в ряд по ортогональным функциям φ_k (t).

(4.2)

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью d-импульсов.

Рис. 4.2. Временная диаграмма одиночного d-импульса

Спектр одиночного d-импульса получим, используя преобразование Фурье:

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:

Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:

Рис. 4.3. Спектр одиночного δ-импульса

Чтобы получить отсчёты функции s (t) перемножим функцию s (t) на периодическую последовательность дельта-импульсов с периодом Т = D t.

Рис. 4.4. Временная диаграмма периодической последовательности

δ-импульсов

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.

(4.3)

;

Т = D t; ω _д – частота дискретизации.

Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для U (t) имеет следующий вид:

Рис. 4.5. Спектр периодической последовательности δ-импульсов

Дата добавления: 2015-10-28