Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Спектральное представление непериодических сигналов

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ | Информация, сообщения, сигналы и помехи | Общие принципы построения систем связи | Классификация систем связи | Математическое описание сигнала | Математическое представление сигналов | Геометрическое представление сигналов | Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций | Спектры мощности. | Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова |


Читайте также:
  1. II. МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
  2. III. Самопредставление классного руководителя
  3. Алгебраическое представление двоичных чисел
  4. Амплитудно-манипулированных сигналов
  5. Временные и спектральные характеристики фазоманипулированных сигналов
  6. Временные и спектральные характеристики частотно-манипулированных сигналов
  7. Временные характеристики сигналов с относительной фазовой манипуляцией

Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов s (t), заданных на конечном интервале (t 1, t 2) (рис. 3.3), непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Для гармонического разложения сигнала мысленно дополняют его такими же импульсными сигналами до периодического с некоторым интервалом Т (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Импульсный сигнал s (t) и его периодическое продолжение s пер(t + kT)

 

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов.

В пределе, при увеличении периода ∞ → Т все импульсы уйдут право и влево в бесконечность и периодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом.

Для вычисления спектра удобна симметричная комплексная форма ряда Фурье, но в нем вместо суммы будет интеграл с бесконечными пределами (преобразование Фурье):

(3.3)

При таком предельном переходе основная частота сигнала Ω = 2 π / T стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спектральных составляющих, частоты соседних гармоник k Ω и (k + 1)Ω становятся неразличимыми, а спектр будет сплошным.

Функция G (j Ω) называется спектральной плотностью сигнала х (t).

Функции G (j Ω) и s (t) представляют собой две математические модели одного и того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а другая описывает изменение сигнала с течением времени.

Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого преобразования Фурье:

(3.4)

Таким образом, формулы (3.3) и (3.4) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье Он даю взаимосвязь между сигналом s (t) и его комплексной спектральной плотностью G (j Ω).

Для одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью t на рис. 3.4 получим спектр S (j Ω) на рис. 3.5:

Это выражение с учетом формулы Эйлера можно переписать в виде

(3.5)

 

 

Рис. 3.4. Рис. 3.5.

Одиночный прямоугольный импульс Спектр прямоугольного импульса

Спектр непериодического сигнала сплошной, бесконечный, ширина спектра определяется длительностью сигнала и, приближённо, равна Δ F э ≈2p/t.

 

3.3. Основные свойства преобразования Фурье:

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

 

Линейность.

Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

(3.6)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 3.6:

 

Рис. 3.6. Сигналы и их спектры. s 0(k)= s 1(k)+ s 2(k) S 1(ω)+ S 2(ω) = S 0(ω).

2) Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 3.7. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s 1(k) является четным, s 1(k) = s 1(- k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s 2(k)= - s 2(- k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s 3(k) образован суммой сигналов s 1(k) и s 2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s 1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s 2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S 3(ω), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.

Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0 – Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от - Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от - Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.

Сигнал s (t), спектр S (ω). При этом если:

s (t) – четный, то S (ω) – вещественный, четный;

s (t) – нечетный, то S (ω) – мнимый, нечетный

s (t) – произвольный, то S (ω) – действительная часть – четная,

а мнимая часть – нечетная.

 

Рис. 3.7. Свойства четности преобразования

3) Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее Фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Действительно, если s (t) S (ω), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s (x) = s (at) при x = at, получаем:

(3.7')

Выражение (3.7') действительно при а > 0. При а < 0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t = x / a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:

s (a ∙t) -(1/ a) S (ω / a). (3.7'')

Обобщенная формула изменения аргумента:

s (at) -(1/| a |) S (ω / a), a ≠ 0 (3.7)

Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 3.6. для сигналов s 1(k) и s 2(k) и их спектров S 1(ω) и S 2(ω).

От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций. Изменение масштаба аргументов изменяет только оцифровку числовых осей отображения сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t = 1 секунда, масштаб оси частот f = 1/ t = 1 герц, а при t = 1 мксек f = 1/ t = 1 МГц (t = at, f = 1/ at, a = 10-6).


Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 103 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Спектральное представление периодических сигналов| Теорема запаздывания.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)