Читайте также:
|
Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов s (t), заданных на конечном интервале (t 1, t 2) (рис. 3.3), непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Для гармонического разложения сигнала мысленно дополняют его такими же импульсными сигналами до периодического с некоторым интервалом Т (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Импульсный сигнал s (t) и его периодическое продолжение s пер(t + kT)
Для того чтобы вне искусственно введенного интервала исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов.
В пределе, при увеличении периода ∞ → Т все импульсы уйдут право и влево в бесконечность и периодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом.
Для вычисления спектра удобна симметричная комплексная форма ряда Фурье, но в нем вместо суммы будет интеграл с бесконечными пределами (преобразование Фурье):
(3.3)
При таком предельном переходе основная частота сигнала Ω = 2 π / T стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спектральных составляющих, частоты соседних гармоник k Ω и (k + 1)Ω становятся неразличимыми, а спектр будет сплошным.
Функция G (j Ω) называется спектральной плотностью сигнала х (t).
Функции G (j Ω) и s (t) представляют собой две математические модели одного и того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а другая описывает изменение сигнала с течением времени.
Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого преобразования Фурье:
(3.4)
Таким образом, формулы (3.3) и (3.4) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье Он даю взаимосвязь между сигналом s (t) и его комплексной спектральной плотностью G (j Ω).
Для одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью t на рис. 3.4 получим спектр S (j Ω) на рис. 3.5:
Это выражение с учетом формулы Эйлера 
можно переписать в виде
(3.5)
Рис. 3.4. Рис. 3.5.
Одиночный прямоугольный импульс Спектр прямоугольного импульса
Спектр непериодического сигнала сплошной, бесконечный, ширина спектра определяется длительностью сигнала и, приближённо, равна Δ F э ≈2p/t.
3.3. Основные свойства преобразования Фурье:
Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.
Линейность.
Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.
(3.6)
Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 3.6:
Рис. 3.6. Сигналы и их спектры. s 0(k)= s 1(k)+ s 2(k) S 1(ω)+ S 2(ω) = S 0(ω).
2) Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.
На рис. 3.7. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s 1(k) является четным, s 1(k) = s 1(- k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s 2(k)= - s 2(- k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s 3(k) образован суммой сигналов s 1(k) и s 2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s 1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s 2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S 3(ω), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.
Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0 – Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от - Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от - Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.
Сигнал s (t), спектр S (ω). При этом если:
s (t) – четный, то S (ω) – вещественный, четный;
s (t) – нечетный, то S (ω) – мнимый, нечетный
s (t) – произвольный, то S (ω) – действительная часть – четная,
а мнимая часть – нечетная.
Рис. 3.7. Свойства четности преобразования
3) Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее Фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Действительно, если s (t) S (ω), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s (x) = s (a ∙ t) при x = a ∙ t, получаем:
(3.7')
Выражение (3.7') действительно при а > 0. При а < 0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t = x / a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:
s (a ∙t) -(1/ a) S (ω / a). (3.7'')
Обобщенная формула изменения аргумента:
s (a ∙ t) -(1/| a |) S (ω / a), a ≠ 0 (3.7)
Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 3.6. для сигналов s 1(k) и s 2(k) и их спектров S 1(ω) и S 2(ω).
От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций. Изменение масштаба аргументов изменяет только оцифровку числовых осей отображения сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t = 1 секунда, масштаб оси частот f = 1/ t = 1 герц, а при t = 1 мксек f = 1/ t = 1 МГц (t = a ∙ t, f = 1/ a ∙ t, a = 10-6).
Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 103 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Спектральное представление периодических сигналов | | | Теорема запаздывания. |