Спектры мощности.

Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением:

w (t) = s (t) s ^*(t) = | s (t)|².

Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s (t)· s ^*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:

(3.15)

Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S (f)· S ^*(f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S (f) и S ^*(f - v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:

W (f) = S (f) _* S ^*(f) = | S (f)|². (3.16)

Спектр мощности – вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.

Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:

W_xy (f) = X (f) Y *(f),

W_yx (f) = Y (f) X *(f),

W_{x y}(f) = W * _yx (f).

Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x (t) и y (t) вещественны, при этом Re[ W_xy (f)] – четная функция, а Im[ W_xy (f)] – нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:

и всегда является вещественным числом.

11) Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:

(3.17)

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра – сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

(x (t), y (t)) = (X (f), Y (f)), || x (t)||² = || X (f)||².

Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по ω) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2 π.

Дата добавления: 2015-10-28