Второй способ. Подберем так, чтобы было

Заменим

тогда:

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Уравнение

разделим на получаем:

Замена переменных

дает:

Делим на ,

Результат:

7.ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ ДУ 1-ГО ПОРЯДКА

Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение:

y = 3(y − sin x) + cos x. (1)

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что при любом С функция

y = (x + C) + sin x (2)

есть решение этого уравнения. Здесь семейство интегральных кривыхзадается с помощью функции

Ф(x, y,C) = y − (x + C) − sin x.

Для нахождения уравнения огибающей имеем систему

Ф(x, y,C) = y − (x + C) − sin x = 0

Ф (x, y,C) = −3(x + C) = 0

Отсюда x + C = 0, и y = sin x. Надо еще проверить, что последнее равенство задает огибающую.

Легко видеь, что при х=х кривые y = sin x и y = (x − x0)3 + sin x имеют общую в точке с абциссой

x = x. Поэтому y = sin x – огибающая семейства кривых (2) и, следовательно,

особое решение уравнения (1).

9.ДУ 2-ГО ПОРЯДКА

Дифференциальные уравнения второго порядка

1. Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде . Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения. Теорема. Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам y и непрерывны в некоторой области, содержащей , то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям и . Эти условия называются начальными условиями. Геометрический смысл этих условий состоит в том, что через заданную точку плоскости с заданным тангенсом угла наклона касательной проходит единственная интегральная кривая. Ясно, что если мы будем задавать различные значения , то при постоянных и мы получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона касательных и проходящих через заданную точку. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных, которая при любых значениях и является решением дифференциального уравнения. Уравнение , определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Если в общее решение подставить конкретные значения и , то получится частное решение дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Рассмотрим методы решения некоторых уравнений второго порядка.

2. Уравнения, допускающие понижение порядка

а) Рассмотрим простейшее уравнение второго порядка . Общее решение такого уравнения получается путем двукратного интегрирования: , где и –произвольные постоянные, а неопределенные интегралы трактуются как первообразные соответствующих функций. Пример 7. Решить уравнение . Решение. Интегрируя первый раз, получаем . Общее решение данного уравнения получаем, интегрируя второй раз: . б) Рассмотрим уравнение , явно не содержащее искомую функцию y. Положим . Тогда и уравнение примет вид . Решаем теперь это уравнение первого порядка относительно p, а затем заменяем p на и решаем последнее уравнение относительно неизвестной функции y.

Общее и частное решения уравнения высшего порядка

Дата добавления: 2015-08-18