Определение момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления

Для расчета движения механической системы «маятник-груз» применимы уравнение динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и уравнение динамики вращательного движения для маятника.

Груз массой движется с ускорением под действием результирующей силы тяжести и силы натяжения нити (рис.8.2). Для груза второй закон Ньютона в проекции на направление движения запишется в виде:

. (8.1)

Рис.8.2

Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила , равная по величине и противоположная ей по направлению. Сила натяжения создает вращательный момент относительно горизонтальной оси, проходящей через точку , направленный вдоль этой оси «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна , где – радиус шкива, на который намотана нить ( – диаметр шкива).

Момент силы сопротивления относительно оси вращения направлен в противоположную сторону по отношению к вращательному моменту (то есть «к нам»).

Для маятника основной закон динамики вращательного движения запишется в виде:

,

где – результирующий момент сил; действующих на маятник, относительно оси вращения; – момент инерции маятника относительно этой оси; – угловое ускорение.

В скалярной форме (в проекции на ось вращения, проходящую через точку и направленную «от нас») это уравнение имеет вид:

. (8.2)

Используя кинематическую связь линейного и углового ускорений:

,

а также уравнение движения груза при нулевой начальной скорости:

,

выразим через измеряемые величины и :

. (8.3)

Решим систему уравнений (8.1) и (8.2), для чего умножим (8.1) на и сложим с (8.2):

.

Выражаем момент инерции маятника Обербека:

. (8.4)

Все величины, кроме , входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения .

Пусть J – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (8.4) следует, что

. (8.5)

В условиях эксперимента , что позволяет считать зависимость e(m)линейной.

Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины . Действительно, если полученную экспериментально зависимость экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки на этой оси, для которой, согласно (8.5), выполняется равенство

,

то можно определить как

. (8.6)

Для определения момента инерции маятника J воспользуемся соотношением (8.4), где величина предварительно определена из измерений e(m) и формулы (8.6).

Подставив выражения (8.3) и (8.6) в (8.4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника

.

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство .

Учитывая это, получаем

.

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:

, (8.7)

где .

Таким образом, для определения момента инерции маятника необходимо измерить время опускания груза массой на расстояние .

2. Исследование зависимости момента инерции маятника Обербека от расстояния грузов массой , закреплённых на его стержнях, до оси вращения

Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции крестовины () и моментов инерции четырех грузов массой , закрепленных на расстоянии от оси вращения (). Если размеры этих грузиков малы по сравнению с , то их можно считать материальными точками. Для материальной точки момент инерции равен . Тогда момент инерции маятника

. (8.8)

Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения и предполагается проверить, используя формулу (8.7), где значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

Задание к работе

1. Сделайте заготовку протокола к лабораторной работе.

2. Получите допуск к выполнению лабораторной работы у преподавателя.

3. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, если они там находятся.

4. Заранее выберите отметку (в диапазоне от 30 до 50 см), от которой начнется движение груза .

5. Вращая маятник рукой, намотайте нить на шкив, следя, чтобы груз достиг выбранного положения.

6. Включите электронный секундомер.

7. Проведите первый опыт, используя в качестве груза, тянущего нить, только одну подставку массой без подгрузков. Предварительно нажатием кнопки «Режим» установите режим 1 (светится индикатор «Реж. 1»). Затем нажмите кнопку «Пуск». При этом отключится тормозное устройство, удерживающее маятник, и одновременно включится секундомер. При включенном режиме 1 секундомер в момент прохождения грузом нижней точки автоматически остановится, причем одновременно сработает тормозное устройство. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений.

8. Проведите по одному опыту, поместив на подставку сначала один, а затем сразу два подгрузка. Результаты внесите в таблицу измерений. По формуле (8.3) рассчитайте величину углового ускорения для соответствующих значений .

9. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение , при котором . Рассчитайте по формуле (8.6) величину момента сил сопротивления .

10. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния h.

11. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную погрешность измерения при доверительной вероятности p =95%, n = 5 (см. гл.12).

12. Вычислите по формуле (8.7) среднее значение момента инерции крестовины .

13. Определите доверительную погрешность косвенных измерений этого момента инерции (см. гл.12) и запишите результаты в виде .

14. Закрепив грузы на стержнях маятника на равном расстоянии от оси вращения, определите это расстояние, используя деления, нанесенные на стержни, и указанные около установки исходные данные.

15. Проведите однократные измерения времени опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трёх различных расстояниях r от оси вращения.

16. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (8.7) при различных расстояниях . При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на стержнях. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (8.8) для соответствующих значений . Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.

17. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от . Нанесите на график точки, соответствующие результатам, полученным при выполнении индивидуальных заданий. Проанализируйте возможные причины их несовпадения.

Контрольные вопросы

1. Какова цель данной лабораторной работы?

2. Что такое момент инерции? От чего он зависит? Как теоретически рассчитать момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси?

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Исходя их уравнений динамики поступательного и вращательного движения, выведите рабочую формулу (8.7).

5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?

6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?

7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость момента инерции маятника Обербека от квадрата расстояния грузов до оси вращения?

9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

Дата добавления: 2015-08-17