Свойства. Транспонирование матриц.

Модуль 2 по аналитической геометрии

Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их

свойства. Транспонирование матриц.

Матрица mxn – прямоугольная числовая таблица, состоящая из mn чисел, которые расположены в m строках и n столбцах. Если матрица имеет тип 1xn, то матрицу называют матрицей-строкой.(матрица-столбец аналогично).При m=n матрицу называют квадратной, при m<>n матрицу называют прямоугольной.(Диагональная, единичная, нулевая, верхняя треугольная матрица, нижная т матрица, ступенчатая(если для любой строки выполнено условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю). Две матрицы называют равными, если они имеют один и тот же тип и если у них совпадают соответствующие элементы. Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: Свойства сложения:

1. А + В = В + А. [A+B]ij=aij+bij=bij+aij=[B+A]ij

2. (А + В) + С = А + (В + С).[(A+B)+C]ij=[A+B]ij+[C]ij=(aij+bij)+cij=aij+(bij+cij)=[A]ij+[B+C]ij=[A+(B+C)]ij

3 Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А. [A+O]ij=[A]ij+[O]ij=aij+0=aij=[A]ij

Для любой матрицы A сущ такая единственная матрица B, для которой выполнено равенство A+B=O,где О- нулевая матр

Если A+B=O, то [A+B]ij=aij+bij=[O]ij=0 следов aij+bij=0, значит bij=-aij

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число. Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA). [(km)A]ij=(km)aij=k(maij)=k(mA]ij

2. k(A + B) = kA + kB. [k(A+B)]ij=k[A+B]ij=k(aij+bij)=kaij+kbij=[kA]ij+[kB]ij=[kA+mB]ij

3. (k + m)A = kA + mA. [(k+m)A]ij=(k+m)aij=kaij+maij=[kA]ij+[mA]ij=[kA+mA]ij

4. 1*A=A. [1*A]ij=1[A]ij=[A]ij

Для матрицы A=(aij) типа mxn ее транспонированной матрицей называют матрицу A^T=(cij) типа nxm с элементами cij=aji

При транспонировании матрицы ее строки становятся столбщами новой матрицы с сохранением их порядка. Точно так же столбцы исходной матрицы превращаются в строки транспонированной. Поэтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно ее главной диагонали.Пример(рисунок)

1. (A^T)^T=A. [(A^T)^T]ij=[(A^T)]ji=[A]ij

2. (A+B)^T=A^T+B^T. [(A+B)^T]ij=[(A+B)]ji=[A]ji+[B]ji=[A^T]ij+[B^T]ij=[A^T+B^T]ij

3. (kA)^T=kA^T, k прин R. [(kA)^T]ij=[kA]ji=k[A]ji=k[A^T]ij=[kA^T]ij

Дата добавления: 2015-08-17