Может быть, все слишком сложно?

Может быть. Не исключено, что все дело в сложности поставленной задачи, и даже Ньютон и Лейбниц, знай они об уравнениях Максвелла, не вывели бы из них спектр синхротронного излучения в произвольно неоднородном магнитном поле. Однако сложность в математике – понятие скользкое. Сложность задачи зависит от языка, на котором она поставлена.

В 1539 г. в Милане математик Н. Тарталья сообщил математику Дж. Кардано способ решать уравнения вида х ³ + ах = b. Сообщил в готовом виде, без намека на доказательство. Встал вопрос: для всех ли уравнений данного вида этот способ работает? Сейчас проверка выполняется просто: нужно имеющуюся формулу x = x (a, b) подставить в левую часть и убедиться, что получается тождество. Это задача (даже не олимпиадная) для ученика средней школы.

Великий математик Джеораламо Кардано решал ее несколько лет.

Дело в том, что в XVI в. служители Урании еще не знали языка формул. Вслед за древними греками они формулировали задачи геометрически. Вместо х ³ строился куб, вместо х ² – квадрат. Кардано предстояло доказать некое утверждение, имеющее отношение к b, об общих свойствах куба и его ребра, взятого а раз. Воспроизвести точную формулировку автору не позволяет его невежество, но – взялись бы Вы решать задачу, поставленную таким образом? Автор не взялся бы. Кардано был великий математик[4].

Потрясающий прогресс физики в XVII-XVIII в.в. был связан – возможно, в первую очередь – с тем, что в математике наконец утвердился язык формул, который после изнуряющих геометрических построений должен был казаться не иначе как светлой магией. Следом трудами Ньютона и Лейбница явились дифференциальное и интегральное исчисления, «фамилии которых слишком известны, чтобы их называть». Задачи, которые научились решать тогда, до сих пор дают на дом студентам физико-математических факультетов.

Чуть ли ни все математические затруднения современной физики сводятся к отсутствию алгоритмов решения для большинства дифференциальных и интегральных уравнений. Но в самом ли деле изобрести язык, на котором эти уравнения решаются, объективно сложнее, чем было изобрести само дифференциальное/интегральное исчисление?

Может быть, это так. Это один из возможных ответов на вопрос, почему этот язык до сих пор не найден. Но возможны и другие ответы. Со времен восемнадцатого столетия в математике многое переменилось.

Чистая математика [5]

С эпохи Возрождения и до второй половины XIX в. все сколько-нибудь выдающиеся математики работали над задачами, поставленными физикой. Математический анализ создавался Ньютоном, Лейбницем, Лагранжем и прочими отцами-основателями как язык для решения физических задач. Даже геометрия Лобачевского, которую часто приводят как пример «математики ради математики», родилась из попыток разобраться, является ли наблюдаемое физическое пространство и в самом деле евклидовым. Некоторые исследователи немного занимались тем, что впоследствии стало стандартом «чистоты» (скажем, молодой Гаусс – теорией чисел), но широко распространенным это явление не было. По выражению Морриса Клайна, «чистая математика была, но не было ни одного чистого математика».

Связано это было, вероятно, с тем, что аксиоматический метод еще не был развит. Даже когда вводились новые виды чисел (отрицательные, иррациональные, комплексные), операции над ними определялись механическим переносом с натуральных чисел, «потому что как же иначе». Однако изобретение кватернионов и матриц с их некоммутативным умножением поколебало уверенность, что иначе никак, а создание неевклидовых геометрий довершило дело: математики поняли, что их наука не находится в кабале у реальности. «Как же иначе» сменилось на «как душе угодно». Взяв любую систему аксиом, которую подскажет богатая фантазия (лишь бы ее противоречивость не удалось доказать сразу), можно «пуститься во все тяжкие», выводя одну теорему за другой. Пышным цветом расцвела теория множеств. Теория чисел стала очень популярна. Появились такие странные области математики, как геометрия конечных пространств (пространств, состоящих из конечного числа точек), теория Рамсея («сколько должно быть элементов в такой-то системе, чтобы гарантировано выполнялось такое-то условие?» - с такими числами в ответах, что даже в записи вида «10 в степени десять в степени десять…» они не уместятся в видимой Вселенной), и т. д. Часть математиков (не рискнем сказать, сколь она велика) гордится и упивается абстрактностью и неприменимостью, считая это знаком некой «избранности». По легенде, Г. Харди однажды провозгласил тост: «За чистую математику! Да не найдет она никаких приложений!»

Мечты господина Харди оказались несбыточными. Столь любимая им теория чисел (а также, вероятно, и теория Рамсея) ныне широко применяется в криптографии, упомянутая геометрия конечных пространств – в теории кодирования[6], и. т. п. Развитие вычислительной техники вдруг трудоустроило многие теории, ранее ходившие в принципиальных бездельниках.

Проникают непорочно зачатые математикой достижения и в физические науки. Например, общая топология, создававшаяся как игра все и вся обобщающего ума, ныне активно используется упомянутой теорией струн. Нестандартный анализ заново переформулировал весь матан, сменив обычное (принадлежащее Коши и восходящее к Ньютону) понимание «бесконечно малой» как функции, стремящейся к нулю при приближении к данной точке, на изначальное понимание Лейбница: «нечто, что меньше любого положительного числа, но при этом (внезапно) больше нуля». Это понимание, наравне с классическим удовлетворяющее всем теоремам, неожиданно совпало с полулегально существующим в физике понятием «физически бесконечно малых», доселе не имевшим адекватного математического отражения. Не исключено, что в этих исследованиях кроется ключ к вожделенному нами новому математическому языку, позволяющему решать набившие оскомину «проклятые» задачи.

Как видим, чистая математика вовсе не так незапятнанна реальностью, как пытаются утверждать некоторые ее адепты. И даже если бы это было так – кто мы такие, чтобы утверждать, что физическое знание полезнее для человечества, чем математическое? Но, тем не менее, приходится признать, что многие из лучших математических умов современности игнорируют задачи, поставленные природой, хотя могли бы принести здесь неоценимую пользу. Они предпочитают решать задачи, которые ставит перед ними их любопытство (душа, мода, воображение, надежда, что «вот это я точно смогу решить»), создавая теоремы «чистой математики». Теоремы, которые, может быть, в обозримом будущем найдут себе приложение, и не исключено, что даже физическое.

Дата добавления: 2015-08-02