Метаматематика

Как уже говорилось, математический анализ создавался в поисках решения физических задач – и более того, только его эффективность в этом качестве и позволила ему выжить, ибо с точки зрения математической строгости он, мягко говоря, имел проблемы. Утверждения обычно вводились без доказательства, лишь с несколькими примерами. Например, тот факт, что в точке экстремума функции ее производная обращается в нуль, только сейчас называется теоремой Ферма (не путать с его же Великой и малой теоремами), сам Ферма его вовсе не доказывал. Попыток доказать что-то в общем виде было мало, и зачастую в них встречались ссылки на фундаментальнейшую теорему «Ей-богу, так!». Немало было прямых противоречий, которые для безопасности именовали «парадоксами». Епископ Беркли ехидно высказался по этому поводу в том духе, что, мол, о каких противоречиях в Священном Писании толкуют эти математики, ежели сами несут такую чушь?

Построение математического анализа в виде строгой системы теорем, базирующейся на арифметике целых чисел, было начато Коши (но и он еще не понимал разницы между непрерывностью и дифференцируемостью и привел кучу ложных теорем с ошибочными доказательствами!) и во второй половине XIX в. завершено Вейерштрассом. Однако математики почуяли азарт. В течение двух без малого тысяч лет, со времен, когда почти безупречные построения греков афинской школы были разбавлены в Александрийской библиотеке не признававшим обоснований египетским и вавилонским математическим знанием, математика была не в ладах со своей главной любовью – доказательством. И вот семейное счастье было, кажется, восстановлено. И здесь – как было не поддаться дьявольскому соблазну попытаться доказать все? Вывести всю математику, подобно геометрии, из конечного набора аксиом? Попытки, исходя из избранной системы аксиом, передоказать все известные теоремы заново, на рубеже веков занимают ведущее место в математических исследованиях.

«Многие знания – многие печали, и кто умножает познания, тот умножает скорбь». Плод с древа познания снова оказался горек.

Была доказана знаменитая теорема Геделя о том, что формализованная арифметика, если она непротиворечива, не может быть полностью выведена из своих собственных утверждений своими собственными методами. А ведь математический анализ, например, обычно сводится к аксиоматике натуральных чисел[7]. Попытки вывести всю математику формальными методами из конечного числа аксиом оказались, очевидно, проваленными.

И, кстати, о непротиворечивости. Последовательное аксиоматическое построение теории множеств внезапно привело к известному «парадоксу брадобрея». Брадобрей, напомним, пообещал брить всех жителей своей деревни, кроме тех, которые бреются сами, а потом задумался: должен ли он брить сам себя? Если да, то он попадает в класс жителей, которые бреются сами, а он обещал не брить таких жителей. Если же нет, то он попадает в класс жителей, которые не бреются сами, а он обещал таких жителей брить. Эта «детская задачка» внезапно выявила противоречие в тщательно проработанной математической теории с огромным количеством доказанных теорем[8].

Встал вопрос, как решать такие проблемы. Предлагался запрет определять какой-либо элемент множества через свойства всех элементов данного множества. Но тогда неясно, например, как определить точную верхнюю грань множества, которая и определяется как наименьшая из всех его верхних граней (та же проблема, разумеется, возникает и с определением точной нижней грани). Попытки определить точные грани иначе закончились неудачей. Предлагалось также запретить множеству быть элементом самого себя. Но тот же парадокс можно сформулировать и иначе[9]. Так или иначе, нужно сформулировать какие-то правила, позволяющие избегать противоречий – но какие? В каком количестве? Где гарантия, что завтра не обнаружится новое противоречие? А ведь при обнаружении в системе аксиом хотя бы одного противоречия все известные теоремы придется передоказывать в какой-то иной аксиоматике, ибо доказательство, исходящее из противоречивых утверждений, не имеет силы. Кстати, непротиворечивость старой доброй евклидовой геометрии тоже отнюдь не доказана. Максимум, что сделано на этом фронте – с использованием аналитической геометрии показано (Гильбертом), что евклидовы аксиомы непротиворечивы, если непротиворечива арифметика. А вопрос о непротиворечивости геометрий типа сферической (Римана) и псевдосферической (Лобачевского) сведен к тому факту, что они являются внутренними геометриями некоторых поверхностей (в данном случае сферы и псевдосферы) в евклидовом пространстве. И, значит, они непротиворечивы, если непротиворечива евклидова геометрия, которая непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

Эти трудности натолкнули на фундаментальный вопрос: почему, собственно, мы доверяем законам логики? Откуда они взялись? Если считать, что они абстрагированы из повседневного опыта, то на каком основании мы применяем их к бесконечным множествам, которых в нашем повседневном опыте нет и быть не может? Тем более что и результаты для них логика выдает потрясающие. Перестановка слагаемых меняет сумму (теорема Римана об условно сходящемся ряде); если шар разрезать на бесконечное число частей, из них можно сложить два шара того же радиуса, и т. п.

И это лишь частный случай более общего вопроса: как решить, какие способы рассуждения применимы, а какие нет, где взять критерии для оценки критериев? Вдруг оказалось, что на сегодняшний день последней инстанцией в математическом доказательстве является психологический комфорт математика. А у математиков разных школ психологический комфорт совместим с разными методами – например, есть школы, отрицающие метод математической индукции. Эти споры могли бы показаться схоластикой, но они приводят к совершенно конкретным исследованиям. Какие теоремы можно доказать, если не пользоваться тем или иным средством (законом исключенного третьего, математической индукцией, какой-либо «сомнительной» аксиомой, и т. п.)? Километры бумаги исписаны такими доказательствами. Были построены и новые, неклассические логические системы. Невозможно здесь не упомянуть и о теории формальных языков – еще одном детище таких изысканий, нашедшем ныне применение в информатике (о ненасытная!).

Раздел математики, изучающий способы доказательства, проблемы непротиворечивости, аксиоматического построения и т. п., называется метаматематикой. И он отвлекает на себя многие выдающиеся умы (вспомним, например, сколько сил отдал этим исследованиям великий Давид Гильберт). Проблемы метаматематики важны. В некотором смысле они, возможно, вообще важнее всех остальных научных проблем весте взятых, ибо здесь напрямую изучаются возможности и границы человеческого познания. Но эгоист, интересующийся только продвижением физики, на вопрос, почему до сих пор не решено то или иное фундаментальное уравнение, может ответить и так: «Потому что люди, которые могут его решить, заняты метаматематикой».

Дата добавления: 2015-08-02