ГШ1в«г(2т|а'»-1).

1.241. Падение тела на Солнце можно рассматривать как движение по очень
вытянутому (в пределе вырожденному) эллипсу, большая ось которого равна

радиусу R земной орбиты. Тогда по Кеплеру (2т/7')² = (/?/2) /R, где т -время падения (время половины оборота по вытянутому эллипсу), Г — период обращения Земли вокруг Солнца. Отсюда т= 77^32 = 64 суток.

1.242. 1=(к/\/уМ)1(г+Я)12]^т, где М и R - масса и радиус Луны.

1.243. Не изменятся.

П

1.245. М =nt^2ym_cr₁r₂/(r₁+r_a), где т_с - масса Солнца.

1.246. E=K+U=-ymm_cl2a, где т_с - масса Солнца.

1.247. r_j,=(l±v/l-(2-^)tism²«)r₀/(2-t₁), где r\ =r_ou\lym_c.

1-248. г_т

1.249. а) Рассмотрим сначала тонкий сферический слой радиуса р и массы
ЬМ. Энергия взаимодействия частицы с элементарным пояском SS этого слоя
(рис. 7) есть dU=-y(m6MI2l)smbdt. Для треугольника ОАР по теореме
косинусов Z =р +г -2 р г COS ft. Найдя дифференциал этого выражения, пре­
образуем формулу для dU к виду, удобному для интегрирования. После
интегрирования по всему слою найдем в[/=-утвМ/г. И наконец, интегрируя
по всем слоям шара, получим U^-ymM/r.

б) F_r=-dU/dr=-ymMlr².

1.250. Рассмотрим тонкий сферический слой вещества (рис. 8). Построим
конус с малым углом раствора и вершиной в точке Л. Площади участков,

вырезанных этим конусом в слое, откосятся как dS^dS^rf-.r^. Массы вырезанных участков пропорциональны их площадям. Поэтому силы притяже­ния к ним частицы А равны по модулю и противоположны по направлению. Дальнейшее очевидно.

Рис. 7

1.251. -r²l3R²)yM/2R,

1.252. G=-(4/3)itypl. Поле внутри полости однородное.

L253. р = 3(1-г²/Я²)уМ²/8я1{⁴. Около 1,7-10^в атм.

Рис. 9

1.254. а) Разобьем сферичес­
кий слой на малые элементы,
каждый массы вот. Тогда энергия
взаимодействия каждого элемен­
та со всеми остальными равна
6U=-ymbm/R. Суммируя по всем
элементам и учитывая, что каж­
дая пара взаимодействующих
элементов войдет при этом дваж­
ды, получим U*-ym²/2R;

б) U=-3ym²/SR.

1.255. а,:О;:а₃= 1:0,0034:0,0006.

1.256. А = г1Й/2 = 32 км; ft=K(y^-l)=2640 км, где R - радиус Земли.

1.257. h=Rl{2gRlv\-l).

1.258. r=v/3it/YP=l,8 ч.

1.259. h = R(gR/uⁱ-l).
1.260.

1.261. г = \/yM(TI2iz)² =42 ■ 10⁴ км, где М и Г - масса Земли и период
ее вращения вокруг оси; 3,1 км/с.

1.262. T*3mgl/2i\³R=02O H, где R - радиус Земли.

1.263. М=4я^гЯ³(1+Г/т)²/уТ²=6 10²⁴ кг, где Г - период вращения Земли
вокруг оси.

L264 a) v'=2%RIT+JyMIR=7,0 км/с; б) а' =(1+(2я/?/Г)у^77^)²уА'/Л²= =4,9 м/с. Здесь М — масса Земли, Т — период ее вращения вокруг оси. 1.265. v^yJ2gR{\-RI2a), где R - радиус Земли.

1.266. Убыль полной энергии спутника за время dt есть -dE=Fvdt. Представив Е и о как функции расстояния г между спутником и центром Луны, преобразуем это уравнение к виду, удобному для интегрирования. В

результате: х «(/п -l)mlaJg~R.

1367. ю,=1,б7 км/с,»₂=2,37 хм/с.

L268. Д u=/yM/R(l 4/2) = -0,70 км/с, где М и R - масса и радиус Луны. 1Л69. Др=(,/2-1)^«Д = 3,27 км/с, где U - радиус Земли.

1.270. v_r=JgR/r\ =5,0 км/с, где Л - радиус Земли.

1.271. Воспользуемся законом сохранения энергии в поступательно

движущейся системе отсчета, связанной с центром Земли: mv₃l2 = ymMIR ⁺ + Wi>²/2, где т — масса тела, и — его скорость вдали от Земли, масса кото­рой М и радиус R. И второе условие: v + V_l=^2V_v где V_x - скорость Земли на орбите, fiV^ — скорость, необходимая для того, чтобы тело смогло покинуть Солнечную систему. Исключив из этих двух уравнений и, получим:

₃^ f «17 км/с. Здесь v\ = yMjR, rf = yM_c/r, M_c - масса

Солнца.

12П. l=2bF₂lma = l,0 м.

1.273. F= *"* =13 Н, a

(l+jfc)sma 1+ifc

1J74. l=] 121S. a)

1.276. A=(l/2a-l)kmgll2.

1.277. a) /=m/²/3; 6) /=(m/²/12)sin²a.

1.278. I=m(a²+b²)l3,
1Л79. /=»»л²/б=4,0гм².

1.280. а) /=ярЬД⁴/2=2,8 гм²; б) /=3m/J²/10.

1.281. 7=ma²/2.
L282. /=m/J²/4.

1Л83. /_с=(/_Л²-/₂дс,²)/(^-л:₁²)=0,75 г-м². 1.284. а) I_o=13mR²l24; б) /_с=37/пД²/72. L28S. /=2w/J²/3.

1Л86. P_t=(mg/?₂-/^!'iJ₁)/(/+injRj I, где ось z направлена за плоскость рис. 1.54.

1290. F=mglA. 1291. tf=(2/it)ms^J/mI²-l/12 = l,2 Нм. M —

1.287. а) o>=^/i?(l+M/2m); б) Ji:=mg²t²/2(l+M/2m). L288. a=gmr²JI. 1Л89. ш

F₂ m₂(m+4m₁) 350

¹—; ^б) ^А=-

1.293. a) a=g---- 1 -,.-

1.294. F_rep=3wg/2; F_wr=mg/4.
1J9S. t = o>_oi?(l+Jk²)/2A:(l+Jfc)g.
1Л96. /ij/n,=(tgO+Jfc)/(tgO-*) = l,3.
1^97. t = 3u>R/4kg.

1ЛП. t=2J/kmg = n с

1.299. <<u>=«₀/3.

1.300. p=2mgx//JZ(M+2m).

1301. cost» =3gJ2u>²l; если правая часть не менее 1, то 0=0. L302. ci=ftgj1=6,0 рад/с; F=mgl_oll=25 H.

a) Af = (l/12)m<uZ²sind, Af =Afsinft; б) Af=

a)

Y.

/) ; 6) Ap=Mjglf6sva(«l2); в) х=2//3.; б) ^ = (1/2)|И«оЛ²(1 +2т/М).

3m+4M

1.306. a) u= ~

1.307. а) о =

1.308. <р = -2

_1J09. а) «= —__; б) А = -^—^(«_Г«.

4/,Аи„ 2/. Ай>²

1.310. а) М₂-М,=------ ^-^; б) £,-£,= - ^{ь 2}.

1. a>=MNt/(I₀ 1.312. о =^

A2

. См. рис. 10, где и_пр=2Й/ия^г.

1313. n = (ml/2nj

1J14. и = <D/J/2sinft =3,0 м/с!

1Л15. a = (5/7)gska,

1.316. Ar=(5/14)mg²(²sin²a=0,ll кДж.

1.317. v = ftglsiaa = 5,3 м/с.
L318. F_n>=/«u²/2s.

Рис. 10

1.319. v=J(10H+4h)g/7 = 2,S м/с. 1J20. a) p=2g/3£=5-10² рад/с²; б)

, F=m(g-a_o)/3. mr²) = l,6 м/с². L323. F<$kmgl(2-3k).

1324. a)

1J25. a=4g/5.

1.326. a=g(m-M)/(M+m+//K²)-

F(3m.+2m,) F²t²(3m_l+2m₂)

1327. a) a = —------ ^l------- —; 6) K=------- -—!------ ²-

тоДто,*!»^) 2m₁(»ij+»i₂)

1.328. a^FUm^lmJl), ^ = 2^/7 '.

1.329. a) f = o>₀«/3fcg; 6) ^ = -

1.330. o>

1331. u₀=v/g/J(7cosa-4)/3. L332. N=Rmv²l5s=20 mHm.

1.333. F=9J²l2ml=9 H.

1.334. а) 5 = я//3; б) K=2J²/m.

1335. o> =2jgsin<f>ll(co&²<f> +1/3).

1.336. a) «=y(3g/2/)(l-sina), P =(3g/4Z)cosa; 6) sine =2/3, a =42°.

1.338. D_c=2u/(4 + ti). При ri=4

1.339. v=<Jgkl2.

1.340. a) u>'=mgljl<x> =0,7 рад/с; б) F=/nu>'²/sinf> =10 мН. Эта сила на­
правлена в сторону, противоположную наклону волчка.

1.341. <о=(^+а)//яиЛ²=3-1О² рад/с.

1.342. ь>' =ml\Jg²+a²/Iu> =0,8 ра^С. Вектор о)' составляет с вертикалью
угол ft=arctg(a/g) = 17°.

1.343. F'=2mR²vu>'/51=0,30 кН.

1.344. F_um=nmR<p_mb>/IT=30 H.
1J45. N=2rcnJvlR = 6 кНм.

1.346. /^г_дов=2яп/1>//?( = 1,4 кН. На такую величину сила давления на
наружный рельс возрастет, а на внутренний уменьшится.

1.347. р = «ЕДГ=0,22 ГПа=2,2'10³ атм, где а - коэффициент линейного
расширения стали.

1.348. a) peo_mbr/r=2,0 МПа=20 атм; б) p=2a_mAr/r=4,0 МПа = 40 атм.
Здесь а_т — предел прочности стекла.

1.349. n = J2a_mlp/Ttl = 0,8' 10² об/с, где а_т — предел прочности, р - плот­
ность меди.

1.350. п = у/а_я/р/2я1?=23 об/с, где а_ж — предел прочности, р — плотность
свинца.

1.351. x*Jtngl2nd²E=2,5 см. 1352. e=FJ2ES.

1.353. F={\-r²jl²)mv>²ll2, А1 = р<о^г1³13Е, где р - плотность меди.

1.354. bV=(l-2\i)Fl/E=l,6 мм³, где ц - коэффициент Пуассона.

1.355. а) AI = pg/²/2E; б) A V/7=(l -2ц)Л///. Здесь р -плотность,
— коэффициент Пуассона.

1.356.а) AVIV=-3(l-2\i)plE; б) Р =3(1 -

1.357. a) <p=W/2nr*ArG; б) <?=2lN/nr*G.

1.358. ЛГ=и(<£-<*⁴)Оф/32/=0,5 кНм.
1359. Р_1аи.=⁴

1.360. tf=pm(r₂⁴-

1.361. U=mEt²l2p = 40 Дж, где р - плотность стали.

1.362. а) У=(я/6)г²/^эрУ/£:; б) U=(2itl$)r²lE(Alll)². Здесь р - плот­
ность стали.

1.363. 4«я²йв³£/6/=80 Дж.

1.364. U=nr*G<f²l4I=l Дж.

1.365. «= G<p²r²/2/².

1.366. u = Pp²g²ft²/2=23,5 кДж/м³, где Р - сжимаемость.

1.367. Pi>P₂, "i* "г- Плотность линий тока растет при переходе от точки
i к точке 2.

1.368. Q=S₁ 1.369. Q=S_s/2gAhp₀lp. 1.370. r = r_olj\

1.371.

1.372. А=А₀/2=25 см, /„«„=/»(,.

1.373. A = pV³/25²f², где р - плотность воды.

1.374. a=-g/(ti²-l), a = 10-⁴g-
1.375.

1.376. 1.377.

1.379. F=2pg,SAft=0,50 H.

1.380. F=pgbl(2h-l)=5 H.

1.381. a) p = 2pSRv; 6) F=2pSv².

1.382. N=plQ²litr²=0,7 H-m.

1.383. Сила направлена вправо, ^ри².^-^)²^^ 1,3 кН.

1.384. а) Параболоид вращения: z = (<o²/2g)r², где z - высота от поверх­
ности жидкости на оси сосуда, г — расстояние от оси; б) /7=р₀+ро>²г²/2.

1.385. P = «ti(o²iJ⁴/A=9 Вт.

1.386. v = v₀la(rlR₂)l\a(R_lIR₂).

1.387. а) о> = _а г \г^}' *>

1.388. v = v_o(l-r²/R²).

1.389. а) С = яи₀Д²/2; б) K=KlR²pvl/6; в) F_4>=4jtr|Zu₀; г)

1.390. 0=0 '

U91. В левом конце трубки дополнительный напор А А =5 см сообщает кинетическую энергию жидкости, втекающей в трубку. Из условия pir/2 = = pgAA получим v=^2gAh = l,0 м/с.

1391. Искомое отношение равно ехр(аДлс)=5.

L393. и₂=и,г₁р₁п₂/г₂р₂п₁=5 мкм/с.

L394. d = ^18Ret]²/(р- р₀) p_og =5 мм, где р₀ и р - плотности глицерина и свинца.

1.395. Г=-(р^²/18п)Ьп=0Д0 с.

L396. v =С\/т| (2 -tj) =0,10 с, где с - скорость света.

c; a'=49°; б) l'=a<Jl-

L397. a) tga'=tga/Vl-p², где P = 3,8 м, 1'П₀=0,66.

²i²ft)/(lp²) l08 м, где

м.

1.400. и=с>/(2-Дг/Г)А</»=0,6-10* м/с. 1.402. s=cAtJl-(At₀IAt? = 5 м.

1.403. а) АГ₀=(//1>)^1-(и/с)²=1,4 мкс; б) Г=/^1 -(i»/c)² = 0,42 км.

L404. Z_o= uA(/\/l-(«/c)²= 17 м.

1.405. /₀=^A3t^A^=6,0 м. и=с^1-Адс,/Лх₁ = 2,2-10* м/с.

1.406. u=(2yAr)/[l+(Z₀/cAr)²].

1.407. Частица, двигавшаяся впереди, распалась позже на время
р²) = 2Омкс, где р=и/с.

1.408.а) ^[x^-^-t. C^-^l/yi-Cu/c)²; б) t_A-t_B=(\-sllf

1.409.а) t(B)=l_o/v, t(B')=(l_olv)Jl-(vlc)²; 6) t(A)=(l_olv)Jl-(vlc)², 1.410. С "точки зрения" iT-часов см. рис. 11.

Рис. 11

1.411. *={l-Vl-p*)r/P, ще p=F/c.

1412. Для этого необходимо убедиться, что при t_z > f, и tf > I,'.

---

Дата добавления: 2015-08-02