Унитарные и Эрмитовы матрицы.

Пусть — комплексная матрица .

Обозначим: ( — комплексное сопряжение).

Определение. Матрица — эрмитова, если .

Матрица — унитарная, если .

Теорема. Пусть — матрица перехода от одного ортогонального базиса к другому ортогональному базису. Тогда унитарна.

Пусть — матрица перехода от к . Если , то . Если — элементы -ого столбца , то — элементы -ой строки у матрицы .

Произведение -ой строки на -ый столбец равно . Но это есть , так как . Поэтому , так как базис ортонормирован. Следовательно, и — унитарная матрица.

6. Сопряжённый оператор.

Пусть — унитарное пространство, .

Определение. — сопряжённый к , если .

Как и в вещёственном случае: и .

Теорема. Пусть и , — матрицы и в ортонормированном базисе. Тогда .

.

Дата добавления: 2015-07-21