Читайте также: |
|
Опр.
- эрмитов оператор в унитарном пространстве V, если
(т.е.
).
Пусть - ортонормированный бзис V.
- эрмитов оператор
его матрица в в этом базисе эрмитова (этот факт был на самом деле доказан на предыдущей лекции).
Теорема. 1) Все собственные числа эрмитова оператора – вещественные.
2) Для эрмитова оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов.
1) , где x – собственный вектор. Но, с другой стороны,
, откуда и следует
.
2) Проведем индукцию по n. Для n=1 утверждение теоремы очевидно.
Шаг. Если , то доказывать нечего. Иначе
- собственный вектор с собственным числом
(вещественным по пред. пункту). Можно считать
. Идея доказательства такая же, как и в вещественном случае. Обозначим через
. Тогда W – подпространство,
. (полное повторение вещественного случая,
т.к. пространство решений одного уравнения). Покажем, что
. Действительно,
(
)
. Это и означает, что
. По индукции в
есть ортонормированный базис из собственных векторов
. Добавив к этой системе первым вектором x получим требуемый базис.
.
Следствие. Для любой эрмитовой матрицы A существует унитарная матрица такая, что
, где все
.
Дата добавления: 2015-07-21; просмотров: 55 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Унитарные и Эрмитовы матрицы. | | | Унитарные операторы. |