Замечание. 3 страница

3.

-3

-7

Уравнение высоты .

4.

7

-2

K

C

x

Длину высоты .

5.

B

Уравнение медианы .

6.

D

Уравнение прямой , параллельной .

7. Угол .

Решение:

1. По формуле (17): ,

т.е. .

Таким образом,

– уравнение стороны .

2. Длину стороны найдем по формуле (2'):

3. Т.к. , то по формуле (22): .

Находим . Имеем из уравнения стороны :

а .

Т.к. прямая проходит через т. и имеет угловой коэффициент , то по формуле (18):

– уравнение высоты

4. Найдем длину высоты . По формуле (24) имеем:

5. Т.к. середина отрезка , то по формуле (3) имеем:

.

По формуле (17) имеем: ,

т.е.

Имеем или – уравнение медианы .

6. Т.к. прямая параллельна прямой , то , т.е. .

По формуле (18) имеем: .

Т.е. , или

– уравнение прямой .

7. По формуле (19)

.

Ответ: 1. – уравнение стороны ;

2. ;

3. – уравнение высоты ;

4. ;

5. – уравнение медианы ;

6. – уравнение прямой ;

7. , .

Задача № 7. Даны координаты четырех точек .

Составить: а) уравнение плоскости , проходящей через три точки ;

б) канонические уравнения прямой, проходящей через т. , перпендикулярно плоскости .

Решение:

а) По формуле (28) составим определитель вида:

Имеем

или – уравнение плоскости, проходящей через точки .

б) Пусть направляющий вектор прямой перпендикулярной плоскости . Вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости . Значит можно принять . Уравнение прямой запишем по формуле (33): .

Ответ: а)

б) .

Задача № 8. Найти точку пересечения прямой с плоскостью , а так же угол между ними.

.

Решение:

1) Составим уравнение по формуле (35):

или

(*)

Имеем

Тогда с учетом системы (36) подставим (*) в уравнение

Имеем

. Подставим в (*):

Следовательно, точка пересечения прямой с плоскостью имеет координаты .

2) Угол между прямой и плоскостью находим по формуле (39):

Ответ: 1)

2) .

Задача № 9. Вычислить пределы

1. 2.

3. 4.

Решение:

2.

3.

4.

Ответ: 1. –1

2. 32

3.

4.

Задача № 10. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график (схематично).

Решение: Функция определена на всей числовой оси, кроме как элементарная функция она непрерывна при всех . Найдем односторонние пределы в точке

а)

Имеем точка разрыва I рода (неустранимого).

б) Находим горизонтальную асимптоту:

в) Построим график функции

Задача № 11. Составить уравнение касательной и нормали кривой в данной точке

Решение: По формуле (41) имеем

или (*)

Находим координаты точки касания :

Затем определим производную от по , как от функции заданной параметрически, по формуле (43)

Вычислим ее значение для точки касания

.

Подставляя и в уравнение (*), получим

,

,

– уравнение касательной

или

По формуле (42) имеем

или (**)

Подставляя и в уравнение (**), получим

– уравнение нормали

или

Ответ: ,

Задача № 12. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Т.к.

Следовательно, – вертикальная асимптота.

По формуле (46) находим

Таким образом, – наклонная асимптота графика функции.

Рассмотрим

(горизонтальной асимптоты нет)

Ответ:

.

Задача № 13. Провести полное исследование и построить график функции

Решение: Воспользуемся планом полного исследования функции (см. § 5 главы III)

I. Функция определена на всей числовой оси кроме точки , т.е.

1.

В точке функция имеет разрыв II-го рода, т.к.

Аналогично рассматривается .

2. Функция является нечетной, т.к. график симметричен относительно начала координат, функция является непериодической.

3. Точек пересечения с осями координат нет.

II. Найдем асимптоты.

– вертикальная асимптота.

Для нахождения наклонных асимптот воспользуемся формулами (46)

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Горизонтальной асимптоты нет, т.к. .

III. Находим производную первого порядка:

. Производная обращается в нуль при и не существует при . Однако, критическими точками являются только точки и : они лежат внутри области определения функции и в них эта функция непрерывна. Точка .

Исследуем критические точки по знаку производной .

Следовательно, функция возрастает на , убывает на .

IV. Находим производную второго порядка

,

Имеем и не существует при , но

Следовательно, точек перегиба нет.

Находим интервалы выпуклости функции и вогнутости :

Т.е. функция выпукла на и вогнута на .

V. Построим график функции

Задача № 14. Вычислить

Решение:

.

Находим

.

Находим смешанную производную

Ответ: .

Задача № 15. Найти , .

Решение:

Воспользуемся формулой (44): .

Преобразуем уравнение к виду , .

Находим

Следовательно, ,

.

Ответ:

Задача № 16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

,

Решение:

I. Ищем критические точки функции , лежащие внутри :

Решая систему уравнений , находим критические точки и . Ни одна из них не лежит внутри области . Других критических точек функция не имеет.

II. Находим наибольшее и наименьшее значения на границе заданной области.

а) На участке АОВ имеем , где .

Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке :

1) ; при ; .

Дата добавления: 2015-07-20