Замечание. 1 страница

а) || ||

б)

Пусть известны нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой , тогда

а) || , (37)

б) || (38)

в) (39)

Глава III. Элементы математического анализа

§ 1. Кванторы

– «для любого » – квантор всеобщности,

– «существует такое, что …» – квантор существования,

– «существует только одно такое, что …» – квантор существования и единственности.

§ 2. Определение функций

Определение. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу вполне определенное действительное число , то говорят, что на множестве определена числовая функция , т.е. .

Множество называют областью определения функции и обозначают .

Определение. Если каждой паре значений двух независимых друг от друга величин и из некоторой области соответствует определенное значение величины , то говорят, что есть функция двух независимых переменных и , определенная в области , т.е.

Область при этом называется областью определения функции .

При нахождении области определения функции двух переменных следует учитывать свойства элементарных функций.

	Функция	Область определения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

§ 3. Предел функции , непрерывность, точки разрыва

Рассмотрим

– «»–окрестность точки ,

– выколотую «»– окрестность точки .

Определение (по Коши): Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство: .

.

– Первый замечательный предел

(40)

– Второй замечательный предел

Таблица эквивалентностей при

, , , , , , ,

К неопределенностям относятся выражения вида , , , , и др.

1. . Чтобы раскрыть неопределенность этого вида необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель, обращающий их в ноль и сократить на него дробь. Способы выделения сомножителя зависят от вида функции, например,

а)

б)

Можно также пользоваться таблицей эквивалентностей.

в)

2. . Чтобы раскрыть неопределенность вида можно пользоваться эквивалентными бесконечно большими, например,

3. Неопределенности вида и сводятся предварительно к неопределенностям вида или , например,

а)

б)

4. Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела. Например,

.

Определение. Функцию называют непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1) определена в точке , то есть

2) существует ,

3)

1. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и или , то точку называют точкой разрыва I рода, устранимого.

2. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и , то точку называют точкой разрыва I-го рода, неустранимого.

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен или , то точку называют точкой разрыва II рода.

Пример:

В точке функция не определена, следовательно, – точка разрыва.

,

Следовательно, точка разрыва II рода.

§ 4. Производная функции одной переменной

Определение. Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0 (при условии, что этот предел существует)

Геометрически производная определяет угловой коэффициент касательной к графику в точке .

Уравнение касательной к кривой:

, (41)

уравнение нормали к кривой:

, если (42)

Физический смысл: характеризует мгновенную скорость изменения функции при .

Таблица производных

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Правила дифференцирования

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

(43)

9.

(44)

Правило Лопиталя

Теорема (Лопиталя). Если функции и :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ,

2) при одновременно являются бесконечно малыми или бесконечно большими,

3) в этой окрестности,

4) существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

(45)

§ 5. План полного исследования функции:

I. Область определения и область непрерывности:

1) если есть точки разрыва, установить их характер, найдя пределы слева и справа;

2) выяснить, не является ли функция четной (график симметричен относительно ) или нечетной (график симметричен относительно начала координат), периодической;

3) точки пересечения с осями координат.

II. Асимптоты.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к 0 (Точка удаляется в бесконечность, если ее расстояние от начала координат неограниченно увеличивается).

Прямую называют вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Прямую называют наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде:

где при

В этом случае

, (46)

В частности, если функция стремится к конечному пределу при : , то, очевидно, и линия имеет горизонтальную асимптоту, параллельную оси , именно .

III. Точки экстремума, интервалы возрастания и убывания.

Теорема (Достаточный признак монотонности)

Если на некотором промежутке имеет производную для , то на функция возрастает (убывает ).

Теорема (Необходимое условие экстремума)

Если дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то .

Функция может иметь экстремум среди точек, в которых:

1) ,

2) ,

3) – не существует, где .

Точки всех этих типов – критические точки функции.

Теорема (Достаточное условие экстремума)

Пусть дифференцируема в (кроме, быть может, самой точки ). Если – критическая точка и производная при переходе через точку меняет знак, то функция имеет в данной точке экстремум:

максимум, если знак производной меняется с «+» на «–»,

минимум, если знак производной меняется с «–» на «+».

IV. Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.

Определение. Кривую называют вогнутой в точке , если существует такая окрестность точки , в которой кривая расположена над касательной, проведенной к ней в точке (рис. 5).

Определение. Кривую называют выпуклой в точке , если существует такая окрестность точки , в которой кривая расположена под касательной, проведенной к ней в точке (рис. 6).

Теорема (Достаточное условие выпуклости (вогнутости))

Если во всех точках : , то кривая на этом интервале выпукла (вогнута).

Определение. Точку, отделяющую выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называют точкой перегиба кривой.

Теорема (Достаточное условие перегиба)

Если или не существует и при переходе через меняет знак, то точка кривой с абсциссой будет точкой перегиба.

V. Построение графика.

§ 6. Частные производные функции нескольких переменных.

Производная сложной функции нескольких переменных

Определение. Частной производной функции по переменной в точке называется предел отношения частного приращения функции по к приращению по при неограниченном убывании последнего к нулю:

Дата добавления: 2015-07-20