Замечание. 2 страница

Другое обозначение: .

Таким образом, частная производная функции по переменной вычисляется в предположении, что значение постоянно.

Аналогично:

Другое обозначение: .

Частная производная функции по переменной вычисляется в предположении, что значение постоянно.

Частные производные функции сами являются функциями этих же переменных и могут иметь производные, которые называются частными производными второго порядка.

Пусть дана функция , где ; .

Тогда ,

. (см. рис. 7)

Если , а , , то

(см. рис. 8)

§ 7. Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее или наименьшее из всех значений нельзя смешивать с максимумом или минимумом функции, которые являются наибольшим или наименьшим значением функции только по сравнению с ее значениями в соседних точках.

Функция , непрерывная в некоторой ограниченной замкнутой области , обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области , где она непрерывна, можно руководствоваться следующим правилом:

1. Найти критические точки, лежащие внутри области и вычислить значения функции в этих точках.

2. Найти наибольшее или наименьшее значения функции на границе области .

3. Сравнить полученные значения функции: самое большее из них и будет наибольшим, самое меньшее – наименьшим значением функции в области .

§ 8. Неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функции на множестве , если для любого выполняется равенство .

Определение. Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Т.е.

Таблица интегралов

1. .
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. ,
13. ,
14. .

Метод замены переменной

Метод замены переменной состоит в том, что в интеграл , нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную , связанную с переменной соотношением

,

где – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную на некотором интервале изменения .

Таким образом,

После того, как интеграл найден, возвращаются к первоначальной переменной с помощью подстановки .

Пример:

.

Метод интегрирования по частям

Интегрирования по частям основано на применении формулы

(47)

Случаи применения формулы по частям.

I. ; ; ; .

II. ; ; ; ; .

За , ,

,

,

,

.

III. , .

Применяется двукратное интегрирование по частям.

Пример:

.

Интегрирование рациональных функций

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:

1. .

2. .

3. ,

где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

.

Пример:

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

1. Интегралы вида: .

а) Если и нечетное, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

Если и нечетное, то к тому же приводит подстановка .

б) Если оба показателя и положительные и четные, то применяются формулы:

(48)

в) Если оба показателя и отрицательные и сумма их четная, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

При этом , , .

2. Интегралы вида:

путем подстановки сводится к интегралу от рациональной функции, при этом .

3. Интегралы вида:Формулы:

: ,

: ,

: ,

Примеры:

1.

.

2.

.

3.

.

§ 9. Определенный интеграл

Если на , то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (рис. 9).

Формула Ньютона-Лейбница:

,

где – первообразная для .

Интегрирование по частям:

, (49)

где – дифференцируемые функции на .

Замена переменной:

,

где – функция непрерывная вместе со своей производной на отрезке – функция непрерывная на .

Если – нечетная функция, то .

Если – четная функция, то .

§ 10. Приложения определенных интегралов

1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и осью вычисляется по формуле

2) Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций

и прямыми

вычисляется по формуле:

(рис. 10) (50)

3) В полярных координатах площадь криволинейного сектора , ограниченного кривой и лучами вычисляется по формуле:

(рис. 11) (51)

4) Если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, то его объем

(52)

5) При вращении вокруг оси криволинейной трапеции, образуется тело вращения, объем которого

(52')

6) Если плоская кривая задана уравнением , то длина ее дуги от точки до точки вычисляется по формуле:

(53)

Если задана параметрически:

, где , то длина ее дуги вычисляется по формуле:

(54)

Если задана в полярных координатах уравнением , то длина ее дуги определяется по формуле:

(55)

7) Работа переменной силы , где – непрерывная функция на , действующей в направлении оси на отрезке вычисляется по формуле:

8) Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью , то пройденный ею за промежуток времени от до путь .

Глава IV. Пример решения варианта контрольной работы

Задача № 1. Вычислить определители :

.

Решение: По правилу вычисления определителя 2-го порядка:

По правилу треугольников:

Ответ: .

Задача № 2. Решить систему двумя способами

а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера, где – матрица из задачи №1,

Решение:

Имеем:

а) Переставим местами два первых уравнения

Составим расширенную матрицу системы

Первую строку умножим на «–2» и сложим со второй строкой.

Первую строку умножим на «–6» и сложим с третьей строкой.

Получаем матрицу:

.

Переставим местами II и III уравнения:

. Разделим II-ю строку на 17:

.

Умножим II-ю строку на «–6» и сложим ее с III строкой:

.

Этой матрице соответствует система уравнений:

б) по формулам Крамера:

.

Тогда: .

Ответ: .

Задача № 3. Вычислить величину момента силы , приложенной к точке относительно точки , если .

.

Решение:

Момент силы равен векторному произведению вектора на вектор , т.е. по формуле (8) имеем:

Так как

имеем

Ответ: .

Задача № 4. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: а) площадь грани

б) объем пирамиды.

Решение:

а) Воспользуемся формулой (10):

Тогда площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е.

б) Воспользуемся формулой (11):

.

Ответ: , .

Задача № 5. Дано уравнение прямой. Записать его в следующих видах:

1. Уравнение в отрезках.

2. Уравнение с угловым коэффициентом.

Построить прямую в системе координат.

.

Решение:

1. По формуле (14):

2. По формуле (13):

Имеем , т.е.

Построим прямую или

Ответ: 1.

2.

Задача № 6. Даны координаты вершин треугольника . Найти:

1.

y

Уравнение стороны .

2.

1

A

Длину стороны .

Дата добавления: 2015-07-20