Загальне рівняння прямої

Розглянемо рівняння першого степеня відносно змінних х і у

ах + Ьу + с = 0. (3.12)

Якщо коефіцієнти а і b цього рівняння одночасно не дорівнюють нулю (а + Ь > 0), то його називають загальним рівнянням прямої. Окремі випадки рівняння (3.12) подано в табл. 3.1.

Взаємне розміщення двох прямих

□ Перетин двох прямих. Нехай задано дві прямі: а1х + b1у + с1 = 0 і а2x + b2у + с2 = 0, які перетинаються. Оскільки координати точки пе­ретину цих прямих мають задовольняти рівняння кожної прямої, то їх можна знайти, розв'язавши систему рівнянь

(3.13)

Якщо система (3.13) має єди­ний розв'язок (х0; у0), то прямі пе­ретинаються в точці М0 (х0; у0).

□ Кут між прямими. Нехай по­трібно знайти кут, між прямими L1:y= k1х + b1 і:L2: у = k2x + b2 (рис. 3.12). Із рисунка видно, що кут між прямими L1 і L2 становить ϕ = а2 - а1. Оскільки k1 = tg а1, k2= tg а2, то за умови, що а1≠π/2 і a2≠π/2, дістанемо

або

(3.14)

Формула (3.14) визначає один із кутів між прямими, що перетина­ються. Інший кут дорівнює π-ϕ.

□ Умова паралельності прямих. Якщо прямі L1 у= k1х +b1 і L2: у = k2x + b2 паралельні, то кут ϕ = 0, а отже, tg ϕ = 0. Із формули (3.14) випливає, шо

k1=k2. (3.15)

і навпаки, якшо k1=k2, то з формули (3.14) випливає, шо tg ϕ = 0, а отже, і ϕ = 0. Таким чином, умова (3.15) є необхідною й достатньою умовою паралельності двох прямих

.

■ Приклад 6. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку М(-2; 4) паралельно прямій 2х - Зу + 6 = 0 (рис.3.13).

Записавши рівняння заданої прямої у вигляді. , знайде­мо її кутовий коефіцієнт k1= 2/3. Оскільки задана й шукана прямі па­ралельні, то їхні кутові коефіцієнти рівні, тобто k1 = k2= 2/3.

Шукана пряма проходить через точку М(-2; 4) і має кутовий ко­ефіцієнт k2 = 2/3. Тому її рівняння має вигляд

або

Умова перпендикулярності двох прямих. Якщо прямі L1: у=k1x+b2 і L2;y=k2x+b2 перпендикулярні, то кут ϕ= π/2; при цьому

або .Отже, справедлива рівність

(3.16)

Таким чином, умова (3.16) є необхідною й достатньою умовою перпен­дикулярності двох прямил.

□ Відстань від точки до прямої. Нехай задано точку М 0 (х 0; у 0) і пряму L: ах + bу + с = 0. Відстань від точки М 0 (х 0; у 0) до прямої L є довжиною перпендикуляра d=M 0 N - (рис. 3.14), яка обчислюється за формулою

(3.17)

Приклад 7. Знайдемо відстань між двома паралельними прямими АВ: 4х + Зу - 8 = 0 і DC: 4х + Зу -33 = 0 (рис. 3.15).

Через довільну точку А на будь-якій із прямих (наприклад АВ) про­ведемо перпендикуляр АМ. Визначивши координати точок перетину цього перпендикуляра із заданими прямими, знайдемо відстань між цими прямими. Кутовий коефіцієнт прямої АВ

. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АМ, що проходить через точку A(2; 0) пер­пендикулярно до прямої АВ, з умови (3.16): Отже, рівняння цього перпендикуляра має вигляд

або

Знайдемо точку перетину перпендикуляра АМ із прямою ОС, роз­в'язавши систему

Звідси дістаємо координати точки перетину M(6; 3). Обчислюємо відстань між точками А і М:

Запитання і завдання

1. Чи завжди рівняння ах+ву+с=0 можна зобразити у вигляді ?

2. Чи можуть кутові коефіцієнти паралельних прямих дорівнювати 3 і-3?

3. Знайдіть кут нахилу до осі х прямої: а) кутовий коефіцієнт якої дорівнює 2, б) паралельної прямої 2х-4у-1=0, в) перпендикулярної до прямої 5х-3у+2=0, г) що проходить через точки (2;1), (-3;5), д) 2х+ву+1=0, якщо вона проходить через точку (1;3).

4. Виясніть взаємне розміщення прямих: а) х+3у-3=0 і 3х-у+11=0, б) 2х-4у-3=0 і –х+2у+1=0, в) х+2у-4=0 і -3х-6у+12=0.

5. Знайдіть кут між: а) прямими х+у+1=0 і х-у-2=0, б) площинами х+у+z+1=0 і х+у-z-2=0.

Дата добавления: 2015-07-20