Интегральная формула лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных испытаний событие появляется с одинаковой вероятностью , . Требуется вычислить вероятность . В принципе каждое слагаемое можно вычислить по локальной формуле Муавра-Лапласа (3), но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие наступит в независимых испытаниях не менее и не более раз (включительно), приближенно равна определенному интегралу

, (4)

где , .

Преобразуем соотношение (4):

,

где – функция Лапласа (или интеграл вероятностей).

Итак, вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз

, (5)

где , .

Функция табулирована (см. прил. 2). При пользовании таблицей следует применять следующие свойства функции : 1) функция нечетная, т.е. ; 2) (на практике при ).

Приведем следствие интегральной теоремы Лапласа.

Следствие. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что:

1) отклонение числа наступлений события от произведения по абсолютной величине не более чем на заданную величину

; (6)

2) относительная частота события заключается в пределах от до

; (7)

3) отклонение относительной частоты события от постоянной вероятности по абсолютной величине не более, чем на величину

. (8).

Доказательство. Докажем соотношение (6); (7) и (8) доказываются аналогично. Найдем вероятность осуществления неравенства . Заменим это неравенство ему равносильным

или .

Поэтому по интегральной формуле Лапласа

Дата добавления: 2015-07-25