Свойства функции Лапласа

1. ;

2. (практически можно считать, что уже при . Так при ).

3. Функция Лапласа – нечётная, т.е. для всех .

4. Функция Лапласа монотонно возрастающая.

Таблица значений функции Лапласа для представлена в Приложении.

Рассмотрим примеры решения задач с применением нормально распределённых случайных величин.

1. Написать дифференциальную функцию нормально распределённой случайной величины , зная, что , .

Решение.

Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид .

По условию задачи , , тогда и

.

Ответ: .

2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключённое в интервале .

Решение.

По условию задачи имеем , . По теореме(*) имеем .

(см. Приложение). Значит, .

Ответ:0,6826.

3. Результаты измерения расстояния между двумя населёнными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами км, м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) не менее 15,8 км; б) не более 16,25 км; в) от 15,75 до 16,3 км.

Решение.

Пусть - случайная величина, описывающая расстояние между двумя пунктами.

а) Слова «не менее» означают «больше или равно», тогда

=

= ;

б) Слова «не более» означают «меньше или равно», тогда

;

в) .

Ответ: а)0,9772; б) 0,9938; в) 0,9925.

4. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием . Сколько процентов годных деталей изготовляет автомат?

Решение.

Пусть - случайная величина, описывающая размер изготовленной детали. Так как указано отклонение от , то воспользуемся следствием1 теоремы(*).

. Таким образом, автомат изготовляет примерно 95% годных деталей.

Ответ: 95%.

5. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадёт в результате испытания.

Решение.

1 способ. Воспользуемся следствием 2 теоремы(*): , тогда

,

,

.

Значит, - искомый интервал.

2 способ. Воспользуемся следствием 1 теоремы(*): , тогда

. По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение) находим .

Значит, ,

, , .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-16