Понятие математической модели.

Описывая состояние некоторой системы с помощью конечного числа показателей, мы прибегаем к модели этой системы. Реальная система в этом случае выступает в роли объекта исследования, а её модель – в роли предмета исследования. Составление модели связано с процессами формализации.

Под математической моделью объекта - его формальный образ, отражающий цель построения модели.

Для построения математической модели объекта необходимо иметь:

1) цель моделирования;

2) набор шкал для измерения характеристик объекта;

3) принципы построения модели.

Цель модели определяет её содержание, а выбранные для измерения шкалы определят её форму. Каждая шкала допускает свои преобразования и имеет свой язык со своими правилами. Принципы построения модели не должны противоречить теореме Гёделя.

Кортеж — упорядоченный набор элементов любой природы. (Вектор, строго говоря, является частным случаем Кортежа, когда все его компоненты — числа. Например, ими могут быть координаты системы). В отличие от вектора над ним не производятся какие-либо алгебраические действия.

Разработка модели начинается с формулировки её цели.

В зависимости от цели исследователь изначально формулирует некоторую начальную внутренне непротиворечивую систему предположений. При этом отношения между предметом и объектом исследования всегда неоднозначны, так как один и тот же объект можно представлять различными моделями. Разные модели могут вступать в противоречие друг с другом, хотя каждая из них может оказаться полезной и, в зависимости от целей исследования, описывать реальность с той или иной степенью полноты. В силу теоремы Гёделя любая из математических моделей неполна, а полная система моделей объекта неизбежно содержит взаимоисключающие модели.

Набор параметров любой из моделей должен в соответствии с целями построения модели отражать основные свойства системы и, описывая отдельные характеристики, не нарушать её целостности.

Параметры математической модели могут иметь как качественный, так и количественный характер.

Характеристики динамической системы меняются с течением времени. Под ситуацией (текущим состоянием) динамической системы понимают значения её параметров в определённый момент или промежуток времени.

Модель отражает свойства реальной системы. Модель призвана отражать только те свойства реального объекта, которые хочет отразить исследователь, разрабатывающий эту модель.

Конечность любой из моделей является её основным достоинством, позволяющим исследовать изначально внутренне противоречивый и бесконечный объект с различных точек зрения.

Основные этапы построения математической модели.

1. В иерархии шкал простейшей (и важнейшей) является шкала наименований.

2. Необходимо выяснить возможность измерения каждой из характеристик модели и выбрать соответствующую шкалу для измерения.

3. На базе словесно-описательной модели, на языке конкретной дисциплины (физики, химии, биологии, психологии, экономики и т.п.) формулируются законы функционирования системы в соответствии с целью исследования.

4. Ещё раз проверяется научная обоснованность и непротиворечивость совокупности требований к модели.

5. Практическая проверка должна подтвердить работоспособность модели и возможность её использования в рамках заявленной аксиоматики.

Компромиссное решение принимается в том случае, когда критерии предпочтительности выбора противоречивы, то есть какие-то требования к объекту выбора не могут быть выполнены в полном объёме или вообще не могут быть удовлетворены. Поиск компромиссного решения среди альтернативных вариантов требует формулировки дополнительных принципов, на основании которых какой-то частью требований оптимальности можно поступиться. Такие дополнительные принципы выбора альтернатив назовём принципами согласования критериев предпочтительности.

В общем случае формулировка цели управленческого решения и постановка вытекающих из нее задач должны удовлетворять следующему минимальному набору требований:

1) цель – это конечный набор критериев достижения цели;

2) для сравнения альтернативных вариантов решения по предпочтительности каждый из критериев должен допускать измерение в порядковой шкале;

3) решение – это выбор альтернативы, наиболее предпочтительной по совокупности всех критериев;

4) если критерии выбора по предпочтительности противоречивы, поиск варианта, наилучшего по совокупности всех критериев, заменяется поиском компромиссного решения. Для выбора компромиссного решения необходимо указать принцип согласования критериев предпочтительности между собой. В этом случае оптимальное решение – это решение компромиссное.

Используемые типы математических моделей принятия решений:

– словесно-описательные (в номинальных шкалах);

– формально-логические (в шкалах предикатов);

– в форме неравенств или систем предпочтений (в порядковых шкалах);

– в форме уравнений или их систем (в количественных интервальных шкалах).

Два основных пути построения моделей:

Первый путь – дедуктивный: от общей идеи к ее частным результатам.

Второй путь – индуктивный, он позволяет конструировать модели сложных систем поэтапно, путём их дальнейшей интеграции в единое целое.

В обоих случаях в теории управленческих решений исследователю необходимо иметь представление о спектре возможных моделей. В зависимости от целей исследования и свойств моделируемого объекта можно применять различные типы моделей.

Некоторые из них:

– дискретные и непрерывные;

– алгебраические, интегральные и дифференциальные;

– статические и динамические;

– детерминированные и стохастические (в частности, вероятностные);

– матричные (многомерные) и скалярные (одномерные);

– с монотонным или отклоняющимся (например, запаздывающим) аргументом.

Некоторые модели теории принятия решений:

– модели математического программирования;

– модель Парето;

– модель лексикографического упорядочивания;

– модель Кемени согласования упорядочений по предпочтениям;

– выбор статистических гипотез на основе критериев согласия;

– прогнозирование на основе уравнения регрессии;

– выбор на основе временных рядов;

– выбор на основе анализа «деревьев» событий;

– матричные игры;

– выбор на основе анализа системных матриц (критерии Вальда, Сэвиджа, Байеса–Лапласа, Гурвица и др.);

– модели теории очередей и массового обслуживания;

– модели расписаний и оптимизации маршрутов (в том числе логистика);

– модели теории надёжности технических систем;

– модели страхования;

– модели оценки безопасности в техносфере и др.

Каждая из перечисленных моделей имеет свои ограничения, свою цель и критерии её достижения.

Дата добавления: 2015-07-16