Читайте также:
|
|
Зростання і спадання функції характеризується знаком її похідної.
Якщо на деякому проміжку (a, в) похідна , то функція зростає на цьому проміжку, якщо ж , то функція спадає на цьому проміжку.
Точка із області визначення функції називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки , що для всіх з цього околу виконується нерівність (мал.1)
Точка із області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий - окіл точки що для всіх з цього околу виконується нерівність (мал.1) Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках – мінімум і максимум функції. Максимум і мінімум функції називається екстремумом функції.
Мал. 1
Точками екстремуму можуть бути ті критичні точки, в яких похідна перетворюється в нуль або терпить розрив, тобто не існує.
Звідси і перше правило знаходження екстремуму функції:
Знайти похідну функції і прирівняти її до нуля.
Розв’язати одержане рівняння, розташувавши корені в порядку
зростання.
До цих чисел дописати ті точки, в яких похідна не нує
.Отримали критичні точки на екстремум: .
Обчислити значення похідної лівіше і правіше кожної з
критичних точок. Якщо при переході через дану критичну точку
похідна функції змінює знак з мінуса на плюс, то функція в цій точці
має мінімум, якщо з плюса на мінус – то максимум, якщо не змінює
знак, то екстремуму немає.
Обчислити значення функції в точках екстремуму.
Крива y = f(x) називається опуклою вниз на проміжку (a, b), якщо вона лежить вище дотичної в будь – якій точці цього проміжку (мал 2).
y
х
Мал.2
Крива y = f(x) називається опуклою вгору на проміжку (а, в), якщо вона лежить нижче дотичної в будь – якій точці цього проміжку (мал 3).
y
X
Мал..3
Опуклість вниз або вгору кривої, що являється графіком функції y = f(x), характеризується знаком її другої похідної:
Якщо на деякому проміжку f″(x) ,то крива опукла вниз на цьому проміжку, якщо f″ (x) , то крива опукла вгору на цьому проміжку.
Виходячи з цього, можна сформулювати друге правило знаходженняекстремуму функції:
1.Знайти похідну і прирівняти її до нуля.
2.Розв’язати одержане рівняння, розташувати корені в порядку зростання.
3. До них дописати точки, в яких похідна не існує. Отримали
критичні точки на екстремум: .
4.Знайти другу похідну f″(x) і обчислити її значення в критичних
точках.
Якщо в даній критичній точці друга похідна буде додатна, то функція в цій точці має мінімум, якщо від’ємною – то максимум, якщо друга похідна дорівнює нулю, то екстремум треба знаходити за першим правилом.
5.Обчислити значення функції в точках екстремуму.
Точки, в яких опуклість вгору змінюється на опуклість вниз або навпаки, називаються точками перегину.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 92 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Фізичний зміст другої похідної. | | | Правила знаходження точок перегину. |