Анализ дисперсионный

возрастом и только им. Ее можно полу­чить усреднением значений удовлетво­ренности по полу и внутри ячеек, т.е. рассмотреть всего три значения средней удовлетворенности: для респондентов со средним, средним специальным и выс­шим образованием. По этим значениям легко вычисляется SSa, на основе к-рой получается оценка дисперсии признака У при действии только фактора образо­вания без принятия во внимание осталь­ных источников дисперсии. По сущест­ву, речь идет о «чистом» влиянии факто­ра образования.

Компоненты второй гр.: SSab, SSac, SSbc, SSabc обусловлены т.н. взаимодей­ствиями факторов. SS_AB — компонента вариации (удовлетворенности трудом), обусловленная одновременным действи­ем на У и возраста, и пола респондента. Ее можно получить усреднением данных внутри ячеек, т.е. на основе шести (по числу ячеек) значений удовлетворенно­сти.

Третья гр. компонент вариации У состоящая из SSoc, представляет собой т.н. остаточную вариацию. Ее источни­ком служат все неучтенные факторы, влияние к-рых обнаруживается при анализе изменчивости признака У внут­ри ячеек. Естественно предположить, что эти факторы одинаково действуют на изменчивость в каждой ячейке (от­сюда и возникает требование равенства дисперсий и нормальности распределе­ния в ячейках, о к-рых говорилось вы­ше).

Процедура А.д. начинается с вычис­ления перечисленных выше компонент. На основе этих компонент рассчитыва­ются разл. оценки дисперсии. Число та­ких оценок равно числу источников дис­персии. Эти оценки называют средними квадратами. Вычисляются они делением значения соотв. компоненты SS на отве­чающее ей число степеней свободы. В табл. 2 приведено число степеней сво­боды для случая двух факторов, когда фактор А имеет г уровней, фактор В — с уровней, общее число наблюдений N,

число наблюдений в ячейках одинаково и равно и.

Табл. 2

Компо­нента	SSa	SS&	SSas	SSoc	SS
Число степеней свободы	r~ 1	с- 1	(г- 1) (с- 1)	r<itt- i)	Ν- I

В нашем примере г = 3, с = 2. Сужде­ние о значимости влияния того или ино­го источника дисперсии выносится по­сле сравнения оценки дисперсии, отве­чающей этому источнику, с оценкой, вычисленной на основе SSoc- Подобное сравнение осуществляется посредством критерия Фишера (F- критерий). Для этого вычисляется значение отношения двух оценок. Напр., для выявления влияния фактора А на изменчивость при­знака У вычисляется величина Fa — SSa-• rc{n - 1) / SSoc(r - 1). Полученная ве­личина сравнивается с табличным зна­чением Fr, к-рое опред. однозначно при заданных степенях свободы и для задан­ного уровня значимости (см. Проверка статистических гипотез). Если окажет­ся, что Fa > Ft, то влияние фактора А стат. значимо.

Предположим, что в нашем примере SS_A = 3,5; SSoc = 7,0; и = 6. Тогда гипо­теза о значимости влияния образования подтверждается, т.к. Fa = 7,5 больше, чем Ft = 4,17, при уровне значимости, рав­ной 0,05, и степенях свободы (ι — 1 = 2, гс(п — 1) = 30). Проверка этой гипотезы есть не что иное, как проверка гипотезы о равенстве средних значений удовле­творенности на разл. уровнях фактора образования. Если средние удовлетво­ренности для респондентов со средним, средним специальным и высшим обра­зованием не равны между собой (в стат. смысле различие значимо), то влияние образования на удовлетворенность тру­дом значимо. В А.д. «влияние» понима­ется именно в этом смысле.

Рассмотренная процедура А.д. воз­можна (т.е. SS разложима) лишь в пред­положении нек-рой модели изучаемого явл., описываемого посредством У, А, В... А.д., по существу, представляет

АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННЫЙ

собой совокупность методов, каждый из
к-рых предполагает опред. модель обу­
словленности значения У тем, какие
значения принимают рассматриваемые
факторы А, В, и возможностями получе­
ния наблюдений при разл. сочетании
уровней факторов (та или иная модель
подобного рода предполагается при ис­
пользовании любого матем. метода). Мы
рассмотрим лишь наиб, простую из них,
в предположении к-рой и стало возмож­
ным разложение типа (I), (2) или (3).
Для случая двух факторов она имеет вид
Y_m = μ + α, + р> γ, + е_т, где {( _да) - неза­
висимы и распределены нормально с па­
раметрами (Ο.σ²), a£ot; = ^β, = 0.
' j

Для нашего примера это означает, что оценка удовлетворенности трудом к-то респондента с /-м уровнем образо­вания, j-ro пола представляет собой сум­му неск. величин, где μ — средняя «ге­неральная» удовлетворенность, стат. оценкой (см. Оценивание статистиче­ское) к-рой является среднее значение признака У по всем наблюдениям, пред­ставленным в табл. 1, т.е. средняя удов­летворенность всех респондентов; а, — гл. эффект г-го уровня фактора А. Его оцен­кой явл. превышение среднего значения удовлетворенности респондентов с;'-м образованием над средней удовлетворен­ностью всех респондентов; аналогично опред. β,; γ~ — взаимодействие /-го уров­ня фактора А с у-м уровнем фактора В. Принятый в лит. термин «взаимодейст­вие факторов» означает совместное воз­действие рассматриваемых факторов на У. Так, в приведенном примере может оказаться, что ни одна градация пола и ни одна градация образования не опре­деляют к.-л. специфического уровня удовлетворенности трудом (мужчины и женщины удовлетворены примерно оди­наково, то же справедливо для разных уровней образования). Однако к.-т. со­четание (из шести градаций этих факто­ров) может быть связано с к.-т, выделяю­щимся значением удовлетворенности (напр., может оказаться, что женщины со средним образованием намного более

удовлетворены трудом, чем все осталь­ные рассматриваемые гр. (ячейки) рес­пондентов). Именно тогда и говорят о взаимодействии факторов (в нашем при­мере взаимодействуют пол и образова­ние). Понятие «взаимодействие» можно трактовать и неск. по-иному (см. Анализ регрессионный). Поясним, как рассчиты­вается оценка у_г Оценка γ_ι2 — взаимо­действие «среднее образование» и «жен­щина» — вычисляется как разность двух величин. Первая — превышение средней удовлетворенности трудом женщин со средним образованием над средней удовлетворенностью всех респондентов со средним образованием (т.е. оценка гл. эффекта второго уровня фактора «пол», вычисленная относительно первого уровня фактора «образование»), а вто­рая — превышение средней удовлетво­ренности трудом всех женщин над сред­ней удовлетворенностью всех респон­дентов (т.е. оценка гл. эффекта второго уровня фактора «пол»). Величина f._iJk — ошибка наблюдения. Она оценивается путем вычисления меры изменчивости удовлетворенности трудом у респонден­тов, имеющих одни и те же пол и обра­зование. Равенство ^ос, = ^β, =0 вы-

* j

текает из определения а, и β,.

Смысл сравнения Fa с Ft (о чем шла речь выше) на яз. модели А.д. — провер­ка гипотезы, что все а,- =0. Если гипоте­за о значимости влияния образования на удовлетворенность трудом принимается (т.е. не все а, = 0), то можно проверить, напр., гипотезу об одинаковости влия­ния среднего и высшего образования на оценку удовлетворенности трудом. Вы­является, какие же изо:, не равны нулю. Для проверки таких гипотез служат ме­тоды множественного сравнения: метод Тьюки (Г-метод) и метод Шеффе (З-ме-тод).

При решении конкр. задач условия применимости А.д. не всегда выполня­ются. А.д. можно применять и при их на­рушении, но при этом: 1) нарушение нормальности распределения в ячейках возможно при больших значениях числа

Дата добавления: 2015-07-19