Типове завдання модульної контрольної роботи № 4

1. Означення матриці Грама системи векторів.

2. Означення квадратичної форми. Означення канонічного виду квадратичної форми. Довести, що значення білінійної форми виражаються через квадратичну форму.

3. Нехай , де Вказати ортонормований базис підпростору L.

4. Довести, що білінійна форма задає скалярний добуток в в деякому базисі. Нехай в цьому ж базисі лінійний оператор задається матрицею Знайти матрицю лінійного оператора , спряженого до .

5. За допомогою повороту осей координат і подальшого паралельного переносу звести рівняння кривої другого порядку до канонічного виду. Вказати тип і характеристики (довжини півосей, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис) отриманої кривої і зобразити на рисунку.

Контрольні запитання до змістового модуля ІV

1. Означення скалярного добутку, евклідового простору. Нерівність Коші-Буняковського.

2. Означення скалярного добутку, евклідового простору. Довести нерівність трикутника: .

3. Означення ортонормованого базису. Довести, що ортонормована система векторів є системою лінійно незалежних векторів.

4. Означення ортонормованого базису. Довести, що з довільної системи лінійно незалежних векторів можна побудувати ортонормовану систему векторів (процес ортогоналізації Грама-Шмідта).

5. Означення ортогональної матриці. Еквівалентність різних означень ортогональної матриці.

6. Означення ортогонального доповнення лінійного підпростору. Нехай L - лінійний підпростір V. Довести, що ­– лінійний підпростір. Довести, що де – базис L.

7. Означення ортогонального доповнення лінійного підпростору. Нехай L - лінійний підпростір V. Довести, що .

8. Означення ортогонального доповнення лінійного підпростору. Нехай L - лінійний підпростір V. Довести, що для довільного вектора існують вектори такі, що . Довести, що такий розклад єдиний.

9. Означення ортогонального доповнення лінійного підпростору. Нехай L - лінійний підпростір V. Довести, що .

10. Означення матриці Грама базису. Матриця Грама ортонормованого базису. Матриця Грама в різних базисах.

11. Означення матриці Грама базису. Матриця Грама ортонормованого базису. Довести, що визначник матриці Грама довільного базису додатний.

12. Означення матриці Грама системи векторів. Критерій лінійної залежності (незалежності) системи векторів в термінах їх матриці Грама.

13. Означення лінійного оператора, спряженого до даного. Означення самоспряженого лінійного оператора. Знайти матрицю лінійного оператора, спряженого до даного в довільному та в ортонормованому базисах.

14. Означення лінійного оператора, спряженого до даного. Означення самоспряженого лінійного оператора. Довести, що всі корені характеристичного многочлена самоспряженого лінійного оператора дійсні.

15. Означення лінійного оператора, спряженого до даного. Означення самоспряженого лінійного оператора. Довести, що всі власні вектори, які відповідають попарно різним власним числам ортогональні.

16. Означення лінійного оператора, спряженого до даного. Означення самоспряженого лінійного оператора. Довести, що якщо лінійний підпростір є інваріантним відносно лінійного оператора , тоді його ортогональне доповнення також є інваріантним відносно .

17. Означення лінійного оператора, спряженого до даного. Означення самоспряженого лінійного оператора. Довести, що існує ортонормований базис векторного простору зі скалярним добутком, відносно якого матриця самоспряженого лінійного оператора є діагональною.

18. Означення ортогональної матриці. Довести, що для довільної симетричної матриці А в евклідовому просторі V знайдеться ортогональна матриця S така, що – діагональна матриця.

19. Означення лінійної функції. Матриця лінійної функції. Матриця лінійної функції в різних базисах.

20. Означення білінійної форми. Означення симетричної білінійної форми. Матриця білінійної форми. Матриця білінійної форми в різних базисах.

21. Означення білінійної форми. Означення симетричної білінійної форми. Необхідна і достатня умова того, що білінійна форма є симетричною і термінах матриці білінійної форми.

22. Означення квадратичної форми. Означення канонічного виду квадратичної форми. Довести, що значення білінійної форми виражаються через квадратичну форму.

23. Означення квадратичної форми. Означення канонічного виду квадратичної форми. Довести, що для довільної квадратичної форми існує базис, відносно якого вона канонічна.

24. Лінія другого порядку на площині (означення). Зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного виду.

25. Еліпс (означення). Побудова еліпса. Фокуси, ексцентриситет, директриси еліпса (означення).

26. Еліпс (означення). Довести, що фокальні радіуси довільної точки еліпса є лінійними функціями абсциси цієї точки.

27. Еліпс (означення). Довести, що еліпс - це геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала.

28. Еліпс (означення). Довести, що еліпс - це геометричне місце точок, відношення відстані яких від деякої фіксованої точки до відстані до деякої фіксованої прямої є величина стала і менше 1.

29. Гіпербола (означення). Побудова гіперболи. Фокуси, асимптоти, ексцентриситет, директриси гіперболи (означення).

30. Гіпербола (означення). Довести, що фокальні радіуси довільної точки гіперболи є лінійними функціями абсциси цієї точки.

31. Гіпербола (означення). Довести, що гіпербола - це геометричне місце точок, різниця відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала.

32. Гіпербола (означення). Довести, що гіпербола - це геометричне місце точок, відношення відстані яких від деякої фіксованої точки до відстані до деякої фіксованої прямої є величина стала і більше 1.

33. Парабола (означення). Побудова параболи. Фокус, ексцентриситет, директриса параболи (означення).

34. Парабола (означення). Довести, що фокальний радіус довільної точки параболи є лінійною функцією абсциси цієї точки.

35. Парабола (означення). Довести, що парабола - це геометричне місце точок, рівновіддалених від деякої точки і деякої прямої.

36. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярній системі координат.

37. Поверхня обертання (означення). Рівняння поверхні обертання у випадку, коли її твірна лежить в площині Oxz, а віссю обертання є вісь Oz.

38. Еліпсоїд обертання: рівняння, рисунок. Еліпсоїд: рівняння, рисунок.

39. Однопорожнинний гіперболоїд обертання: рівняння, рисунок. Однопорожнинний гіперболоїд: рівняння, рисунок.

40. Двопорожнинний гіперболоїд обертання: рівняння, рисунок. Двопорожнинний гіперболоїд: рівняння, рисунок.

41. Еліптичний параболоїд обертання: рівняння, рисунок. Еліптичний параболоїд: рівняння, рисунок.

42. Гіперболічний параболоїд: рівняння, рисунок.

43. Циліндрична поверхня (означення). Рівняння циліндричної поверхні у випадку, коли її напрямна лежить в площині Oxy, а напрям твірної збігається з напрямом осі Oz. Приклади циліндричних поверхонь ІІ порядку.

44. Конічна поверхня (означення). Рівняння конічної поверхні у випадку, коли її вершина збігається з початком координат. Приклади конічних поверхонь ІІ порядку.

Дата добавления: 2015-11-14