Типове завдання модульної контрольної роботи № 3

1. Означення визначника довільного порядку. Достатні умови рівності визначника нулю.

2. Означення власного числа, власного вектора лінійного оператора, характеристичного рівняння. Довести, що число є власним числом лінійного оператора тоді і тільки тоді, коли є коренем характеристичного рівняння.

3. Обчислити

4. Чи утворюють вектори базис? Якщо так, знайдіть координати вектора в цьому базисі.

5. Чи можна матрицю лінійного оператора звести до діагонального виду за допомогою переходу до нового базису? Знайти цей базис і відповідну діагональну матрицю.

Контрольні запитання до змістового модуля ІІІ

1. Перестановка множини з n елементів. Знак перестановки. Довести, транспозиція змінює парність перестановки.

2. Означення визначника довільного порядку. Довести, що операція транспонування не змінює значення визначника.

3. Означення визначника довільного порядку. Довести, що якщо два рядки (стовпчика) поміняти місцями, тоді знак визначника зміниться на протилежний. Довести, що визначник є лінійною функцією елементів довільного його рядка (стовпчика).

4. Означення визначника довільного порядку. Достатні умови рівності визначника нулю.

5. Означення визначника довільного порядку. Довести, що визначник не зміниться, якщо до одного з рядків (стовпчиків) додати лінійну комбінацію інших рядків (стовпчиків).

6. Означення мінору, алгебраїчного доповнення до елемента матриці з номером Обчислення визначника виду .

7. Означення мінору, алгебраїчного доповнення до елемента матриці з номером Довести формулу розкладу визначника по елементах деякого рядка (стовпчика).

8. Означення визначника довільного порядку. Застосування теорії визначників до дослідження матриці на невиродженість.

9. Означення визначника довільного порядку. Застосування теорії визначників до знаходження оберненої матриці.

10. Означення визначника довільного порядку. Застосування теорії визначників до розв’язання визначених СЛР.

11. Елементарні перетворення як добуток матриць.

12. Як елементарні перетворення змінюють значення визначника? Теорема про добуток матриць.

13. Означення векторного простору. Наслідки з означення векторного простору.

14. Означення векторного простору. Приклади векторних просторів (один з доведенням).

15. Означення лінійно залежної (незалежної) системи векторів. Властивості лінійно залежних(незалежних) систем векторів.

16. Означення базису векторного простору. Твердження, що будь-яка система лінійно незалежних векторів складається з такої кількості векторів, яка не перевищує розмірності простору.

17. Означення базису векторного простору. Довести, що довільний базис векторного простору складається з однакової кількості векторів.

18. Означення базису векторного простору. Довести, що довільну систему лінійно незалежних векторів можна доповнити до базису.

19. Координати вектора в базисі. Властивості.

20. Ізоморфізм векторних просторів. Довести, що два дійсні або комплексні векторні простори однакової розмірності ізоморфні. Навести приклад ізоморфних векторних просторів.

21. Матриця переходу між базисами, її властивості.

22. Заміна координат вектора при заміні базису.

23. Означення лінійного підпростору. Властивості лінійних підпросторів.

24. Означення лінійної оболонки, яка породжена системою векторів. Довести, що лінійна оболонка є лінійним підпростором і, навпаки, будь-який лінійний підпростір є лінійною оболонкою.

25. Означення перетину і суми лінійних підпросторів. Приклад лінійного підпростору.

26. Теорема про зв’язок між розмінностями суми і перетину лінійних підпросторів.

27. Означення прямої суми лінійних підпросторів. Необхідна і достатня умова того, що сума лінійних підпросторів є прямою.

28. Означення лінійного відображення. Навести приклад лінійного відображення.

29. Означення ядра і образу лінійного відображення. Довести, що ядро і образ лінійного відображення є лінійними підпросторами.

30. Означення лінійного відображення. Твердження про те, коли лінійне відображення є сюр’єкцією, ін’єкцією, бієкцією.

31. Матриця лінійного відображення. Теорема про взаємно однозначну відповідність між множинами і .

32. Ранг лінійного відображення. Твердження про зв’язок між рангом лінійного відображення і рангом матриці лінійного відображення.

33. Означення ядра і образу лінійного відображення. Теорема про зв’язок між розмірністю ядра і образу лінійного відображення.

34. Матриця переходу між базисами. Матриця лінійного відображення в різних базисах.

35. Означення лінійного відображення. Довести, що для будь-якого лінійного відображення завжди можна вибрати базиси у векторних просторах так, щоб , де .

36. Означення власного числа, власного вектора лінійного оператора, характеристичного рівняння. Довести, що число є власним числом лінійного оператора тоді і тільки тоді, коли є коренем характеристичного рівняння.

37. Означення власного числа, власного вектора лінійного оператора, характеристичного рівняння. Довести, що характеристичні многочлени подібних матриць збігаються.

38. Означення власного числа, власного вектора лінійного оператора, характеристичного рівняння. Довести, що власні вектори, які відповідають попарно різним власним числам є лінійно незалежними.

39. Означення власного числа, власного вектора лінійного оператора, характеристичного рівняння. Довести, якщо характеристичний многочлен лінійного оператора має n (n - розмірність простору) різних коренів, тоді існує базис, відносно якого матриця цього лінійного оператора є діагональною.

40. Означення алгебраїчної і геометричної кратності власного числа. Довести, що множина власних векторів, яка відповідає заданому власному числу є лінійним підпростором. Вказати розмірність цього підпростору.

41. Означення алгебраїчної і геометричної кратності власного числа. Довести, що геометрична кратність власного числа не перевищує його алгебраїчної кратності.

42. Означення алгебраїчної і геометричної кратності власного числа. Довести, що якщо існує базис, відносно якого матриця лінійного оператора є діагональною, тоді алгебраїчна кратність кожного власного числа лінійного оператора збігається з геометричною.

43. Означення алгебраїчної і геометричної кратності власного числа. Довести, що якщо алгебраїчна кратність кожного власного числа лінійного оператора збігається з геометричною, тоді існує базис, відносно якого матриця цього лінійного оператора є діагональною.

Дата добавления: 2015-11-14