Линейные операции над матрицами.

Равенство матриц
Матрицы A = || ai j || и B = || ai j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны: А=В-аij=bij для любых допустимых значений индексов i и j.
К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число).
Умножение матрицы на число При умножении матрицы A на число λ (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:B= λA-bij=λaij

Сложение матриц Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j ||, элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов: C=A+B-cij=aij+bij Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида αA+ βB Умножение матрицы Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умноженияAхB) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть . Свойства арифметических операций над матрицами

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы

на число, сложение и умножение матриц.

Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих

одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков

m и n называется матрица С = (Сij)(i = 1, 2,.m; j

= 1, 2,.n) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2,., m; j = 1, 2,., n)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция

составления суммы матриц называется их сложением

свойствами:

1) переместительным свойством: A + B = B + A

2) сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Умножение матрицы на число:

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2,., m; j = 1, 2,., n) на

вещественное число λ называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2,., m; j = 1, 2,., n), элементы

которой равны Cij = λ Aij (i = 1, 2,., m; j = 1, 2,., n).

Операция составления произведения матрицы на число называется

умножением матрицы на это число.

Перемножение матриц:

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2,., m; j = 1, 2,., n), имеющей

порядки соответственно равные m и n,

на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2,., n;

j = 1, 2,., p), имеющую порядки соответственно равные n

и p, называется матрица C = (Сij) (i = 1, 2,., m; j =

1, 2,., p), имеющая порядки, соответственно равные m и

p, и элементы Cij,

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из

сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B: необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка являющейся произведением матрицы A на матрицу B.

свойства произведения матрицы A на матрицу B:

1) сочетательное свойство: (AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Транспонированная матрица С каждой матрицей A = (aij) размера mхn связана матрица B = (bij) размера nхm видаbij=aij?i=1,m,J=1,nТакая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так AT. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (aij) размера mхn при этом преобразовании станет матрицей размерностью nхm.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца. Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A). Определители второго и третьего порядка. определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали. Свойства определителей. 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером.2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k..

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же.

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

Миноры и алгебраические дополнения.

Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное/

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

Разложение определителя по элементам строки (столбца).

По элементам i -й строки:

По элементам j -го столбца:

Определители n-го порядка

Определителем (детерминантом) – го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

Пусть дана квадратная матрица – го порядка:

.

Определение. Произведение элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.

Обозначение: .

Здесь первый индекс обозначает номер строки, из которой взят элемент, второй индекс , он в свою очередь имеет нижний индекс , обозначает номер столбца, из которой взят элемент и набор вторых индексов образует перестановку множества .

Т.к. число всех перестановок множества равно , то существует ровно членов определителя.

Ортогональные проекции векторов. Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу. Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью. Любой ненулевой вектор , принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора принимается за положительное, а направление противоположного вектора — за отрицательное. Кроме того, длину вектора — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.

Ортогональной проекцией вектора на ось, задаваемую вектором , называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора на ось, задаваемую вектором , будем обозначать .

Ортогональную проекцию вектора на прямую[/b] I будем обозначать .

Ортогональную проекцию вектора а на плоскость будем обозначать .

Разность между вектором и его ортогональной проекцией называют ортогональной составляющей:

— — ортогональная составляющая вектора относительно вектора ;

— — ортогональная составляющая вектора относительно прямой ;

— — ортогональная составляющая вектора относительно плоскости .

На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора :

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором ) вдоль прямой (рис.1.23,а);

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором ) вдоль плоскости (рис.1.23,б);

— на плоскость вдоль прямой (рис.1.23,в).

На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора :

— относительно оси (вектора ): (рис.1.23,а);

— относительно плоскости (рис.1.23,в).

Дата добавления: 2015-11-16