Признак ортогональности (перпендикулярности) векторов.

Если два вектора перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю. Поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю. Из этого рассуждения мы получаем следующий признак: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Если - ненулевой вектор, то вектор перпендикулярен ему и имеет такую же длину.

Скалярное произведение в координатной форме.

Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть , , . Тогда:

1) ;

2) .

Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения:

.

Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

.

Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:

рис.4.

, , .

Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.

Отсюда следует:

, ч.т.д.

2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

.

Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

, ч.т.д.

16. Общее уравнение прямой на плоскости.

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x₀, y₀, z₀), то ее уравнение можно привести к виду

a (x – x₀) + b (y – y₀) + c (z – z₀) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x₀; y₀; z₀) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно

Нормальный вектор и уравнение плоскости в отрезках на осях координат.

Рассмотрим произвольную точку в пространстве и некоторый вектор Очевидно, что геометрическим местом точек таких, что вектор перпендикулярен вектору будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:

Запишем последнее равенство в координатах:

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду

Обозначая получим

Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

Вектор называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).

Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.

Рассмотрим плоскость 3x + 2y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A(2; 0; 0). Точка B(0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C(0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку.

Положение плоскости в пространстве вполне определяется заданием вектора , перпендикулярного к плоскости

(нормальный вектор), и т. . Найдем уравнение этой плоскости. Пусть т. — точка с текущими координатами. Тогда

17. Уравнение прямой на плоскости

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Дата добавления: 2015-11-16