Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b, (1)

где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.

Уравнением (1) может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом разрешено относительно текущей координаты y.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом через заданную точку

y = y₀ + k (x – x₀)

называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.

7. СЛАУ. Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида (1)

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой. Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Условия совместности. Условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Следствия:

Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения.

Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Теорема Кронекера-Копелли. Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

8. Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса.

Алгоритм

1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6. После повторения этой процедуры n − 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

9. Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n – r, - базис этого подпространства.

Фундаментальная система решений. Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

10. Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила.

Геометрически векторы изображаются направленными отрезками.

Направленный отрезок называется вектором.

Вектор характеризуется следующими элементами:

1) начальной точкой (точкой приложения);

2)направлением;

3) длиной («модулем вектора»).

12. Действия над векторами, заданными своими координатами. Если векторы заданы своими координатами в базисе e1, e2, e3, то действия над ними выполняются по следующим правилам:

1. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:

(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).

В самом деле, для двух векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) имеем

(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) =

= (x1e1 + y1e2 + z1e3) + (x2e1 + y2e2 + z2e3) =

= (x1 + x2) e1 + (y1 + y2) e2 + (z1 + z2) e3 =

= (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).

2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

(x1; y1; z1) — (x2; y2; z2) = (x1 — x2; y1 — y2; z1 — z2)

3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

В самом деле, для вектора (x1; y1; z1) и числа λ, имеем

λ (x1; y1; z1) = λ (x1e1 + y1e2 + z1e3) =

= (λ x1)e1+ (λ y1)e2 + (λ z1)e3 = (λx1; λy1; λz1)

Коллинеарность. Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

В координатной форме- Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Например: Имеем векторы a(x1,y1,z1) и b(x2,y2,z2) Если x1/x2=y1/y2=z1/z2, то векторы коллинеарны.

Деление отрезка в заданном отношении. Если x1 и y1 - координаты точки A, а x2 и y2 - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении = , определяются по формулам

,

Если , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

,

Дата добавления: 2015-11-16