Лекция 9 Основные виды законов распределения случайных величин для сервиса и технической эксплуатации автомобилей.

1. Законы распределения случайных величин.

2. Закон распределения Вейбулла (ЗРВ)

3. Нормальный закон распределения Гаусса (ЗНР)

4. Экспоненциальный закон распределения (ЭЗР)

1.Законы распределения случайных величин.

При исследовании надежности и определении сроков службы машин применяются различные статистические модели (законы распределения) случайных величин. Исследованиями установлено [35], что применительно к автомобилям можно принять следующую распространенность разных законов распределения случайных величин: Вейбулла – 55 – 60%, нормальное (Гаусса) – 35 – 40%, экспоненциальное и логнормальное – 4 – 6%.

Имея эмпирическую плотность распределения (гистограмму), с помощью математических методов находим статистическую модель (закон распределения) случайных величин. Можно также решить обратную задачу: по статистической модели определить характеристики надежности изделия, вероятность появления отказов и другие показатели. При выборе закона распределения недостаточно одного формального сходства гистограммы с законом распределения. Необходимо также учитывать физику явления, т. е. стремиться к рассмотрению полной модели отказов.

1. Распространенной статистической моделью является нормальное (гауссово) распределение.

При большом числе наблюдений законы распределения приближаются к нормальному. По нормальному закону изменяются износы и другие постепенные отказы, периодичности ТО-1 и ТО-2, периодичности отказов автомобилей, двигателей и других узлов.

Плотность нормального распределения определяем по формуле

,

где l – любое значение ряда распределения;

l ср – математическое ожидание (среднее значение, центр распределения);

σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины l.

Интегральную функцию нормального распределения отказов и функцию безотказной работы запишем в виде

.

Здесь Ф(z) – нормированная функция нормального распределения, в которой принимается новая случайная величина (нормированное отклонение) . В формуле , при l = l _ср, z = 0.

Таким образом, при нормировании начало координат переносится в точку l = l _ср и абсцисса выражается в долях среднего квадратического отклонения σ.

В целях облегчения расчетов для нормированных функций распределения в дифференциальной и интегральной формах составлены специальные таблицы.

Например, если необходимо определить вероятность замены данного узла в случае пробега автомобиля с начала эксплуатации 100 тыс. км при средней наработке до отказа l_ср = 124 тыс. км и среднеквадратическом отклонении σ = 30 тыс. км, то рассчитав нормированное отклонение , из таблицы получим Ф(-0,80) 0,29. Это значит, что 21 % автомобилей потребуют замены данного узла при пробеге до 100 тыс. км.

Одна из важных характеристик нормального распределения — «правило трех σ», из которого следует, что практически все случайные величины (99,9 %) лежат в интервале ±3σ.

2. Для описания событий, которые возникают с постоянной интенсивностью и независимо друг от друга, служит однопараметрическое экспоненциальное распределение.

Этим законом описываются внезапные отказы, наработки между отказами, трудоемкости текущего ремонта и т. д.

Плотность распределения отказов определяется по формуле

f (l) = λ e^-λl.

Интегральная функция распределения отказов

F(l) = 1 - e^-λl,

а функция безотказной работы

Р(l)= - e^-λl.

Дата добавления: 2015-11-16