|
Читайте также: |
1. Определение параболы и её уравнение
Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через данную точку F.
Точка F называется фокусом параболы, а прямая d ─ директрисой параболы. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается: 
.
Рис.12.
Для того чтобы составить уравнение параболы на плоскости введём ортонормированную систему координат, ось (Ох) которой выберем проходящей через фокус F параболы перпендикулярно директрисе d. Пусть D─ точка пересечения оси (Ох) с директрисой d. Начало системы координат выберем в точке, являющейся серединой отрезка [FD]. 
(Рис.12.)
 (7)
|
В этом случае фокусы параболы принимает координаты 
,а директриса определяется уравнением 
. Пусть М(х;у) ─ произвольная точка параболы. Тогда, по определению, 
. Учитывая, формулы расстояния между двумя точками и расстояния от точки до прямой, получаем. 
. Возведём это равенство в квадрат. 
=>
Таим образом, получаем, если точка М(х;у) принадлежит параболе, то её координаты удовлетворяют уравнению.
Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М1(х1;у1) удовлетворяют уравнению (7), то точка М1 принадлежит параболе.
И так, пусть для координат точки М1 выполнено условие: . Вычислим 
. => 
=> => 
параболе. Таким образом, уравнение (7) является уравнением параболы.
2. Исследование формы параболы по его уравнению
Пусть дана парабола своим каноническим уравнением (7).
Для определения вида кривой заданной уравнением (7), заметим:
а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют
уравнению (7). => Парабола проходит через начало координат.
б) Если точка М(х;у) принадлежит параболе, то из уравнения (7) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит параболе. => Парабола симметрична относительно оси Ох.
в) 
Если 
, то все точки параболы расположены в полуплоскости 
.
г) Продифференцируем равенство по х: 
. 
=> При у > 0 функция у(х) является возрастающей, а при у < 0 ─ убывающей.
д) Продифференцировав выражение 
по переменной х, получаем: 
. => Кривая при у > 0 ─ выпукла, а при у < 0─ вогнута.
Рис. 13.
Проведённое исследование позволяет построить изображение параболы, приведённое на рис. 13.
3.Построение точек параболы
Построить параболу с фокусом в точке F и директрисой d можно следующим образом.
а) Через фокус F проводим прямую (Ох), перпендикулярную директрисе d.
б) Строим вершину параболы, то есть точку О, которая является серединой отрезка [ON], где N точка пересечения директрисы и (Ох).
Рис. 14.
в) Проводим произвольную прямую ℓ параллельную директрисе.
г) Строим окружность 
, где 
. Точка М= ω∩ℓ принадлежит параболе с фокусом в точке F и директрисой ℓ.
Чтобы получить достаточное число точек параболы необходимо повторить пункты в) и г).
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 191 | Нарушение авторских прав