Читайте также:
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие
Для студентов I курса дневного и заочного отделений
Физико-математического факультета
Воронеж 2012
УДК 513 (075.8)
Составитель:
Кандидат физико-математических наук, доцент Н.А. Заварзина
Кривые второго порядка
Лекция №1
Эллипс
1. Определение эллипса и его уравнение
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a > ǀF1F2ǀ=2c.
Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а │ F1F2│= 2с ─ фокальным расстоянием.
Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2. Для того чтобы составить уравнение эллипса на плоскости введём ортонормированную систему координат, начало которой поместим с середину отрезка [F1F2]. Ось Ох расположим таким образом, чтобы точки F1 и F2 принадлежали этой оси.
Рис.1.
В этом случае фокусы эллипса принимают следующие координаты F1(c;0) и F2(-c;0). (см. Рис.1.) Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда, по определению, │МF1│+ │МF2│ = 2a. (1)
По формуле вычисления расстояния между точками имеем: ,
. Таким образом из (1) =>
. Запишем полученное выражение в виде
и возведём в квадрат. В результате, после приведения подобных членов, получаем
. Для того чтобы освободиться от корня возведём последнее выражение в квадрат. В результате после элементарных преобразований имеем:
. (2)
![]() |
Учитывая, что >
обозначим (3)
![]() |
и запишем (2) виде: . После деления полученного уравнения на
получаем, что если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению
(4)
Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М1(х1;у1) удовлетворяют уравнению (4), то точка М1 принадлежит эллипсу.
Пусть для точки М1(х1;у1) справедливо равенство (5)
Из (5) следует: (6)
Вычислим
=>
.
Заметим, что величина стоящая под знаком модуля положительна не только при < 0, но и при
> 0 так как с <
и из (6) =>
.
Аналогично, если провести подобные преобразования для , получим
. =>
=> точка М1 принадлежит эллипсу.
Таким образом, уравнение (4) является уравнением эллипса, которое называется каноническим уравнением эллипса.
[MF1] ─ называется первым фокальным радиусом эллипса; .
[MF2] ─ называется вторым фокальным радиусом эллипса; .
Заметим, что если F1= F2, то с = 0 и =>
=> окружность частный случай эллипса.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Пусть дан эллипс своим каноническим уравнением (4) .
Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим:
а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют
уравнению (4). => Эллипс не проходит через начало координат.
б) Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох: =>
=> Эллипс две точки пересечения с осью Ох:
и
.
в) Найдём точки пересечения эллипса с осью Оу: =>
=> Эллипс две точки пересечения с осью Ох:
и
.
г) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Ох.
д) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М2(х;-у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Оу.
На основании г) и д) можно сделать вывод, что эллипс симметричен относительно начала системы координат.
е) Из уравнения (4) ,
=>
и
=> Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
и
.
ж) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом у от 0
до величина х убывает от
до 0.
з) =>
=>
=>
<0 => Если
, то
, то есть функция
выпукла вверх. Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, получаем изображение эллипса (Рис.2.).
Рис.2
Точки А1, А2, В1, В2 ─ называют вершинами эллипса. [A1A2] ─ большой осью эллипса, [B1B2] ─ называют малой осью эллипса. Числа и
называют полуосями эллипса.
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 193 | Нарушение авторских прав