Читайте также: |
|
Пусть функция y = f (x) дифференцируема в любой точке промежутка (a; b). Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка. Значит, существует касательная к графику функции y = f (x) в любой его точке (x; f (x)), a < x < b.
Определение 8. График функции y = f (x), дифференцируемой в каждой точке промежутка (a; b) называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если для любого x Î (a; b) график расположен не выше (не ниже) касательной к графику в точке (x; f (x)) (слайд 7 в презентации).
Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).
Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема на промежутке (a; b) и f ”(x) для x Î (a; b) сохраняет свой знак, то кривая y = f (x) выпуклая, если f ”(x) £ 0 при x Î (a; b), и кривая y = f (x) вогнутая, если f ”(x) ³ 0 при x Î (a; b).
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f ”(x) ³ 0 для x Î (a; b). Обозначим x 0 любую точку промежутка (a; b). Построим касательную к кривой y = f (x) в точке (x 0; f (x 0)): y касат = f (x 0) + f (x 0)(x - x 0). Покажем, что график функции y = f (x) лежит не ниже этой касательной, то есть выполняется неравенство (рис.11):
f (x) – y касат. (x) ³ 0 для любого x Î (a; b).
Рис. 11
f (x) – y касат(x) = f (x) – (f (x 0) + f ’(x 0)(x - x 0)) =
= f (x) – f (x 0) – f ’(x 0)(x - x 0) = (f (x) - f (x 0)) - f ’(x 0)(x - x 0), где x Î (a; b), (1)
На [ x 0; x ] функция y = f (x) удовлетворяет условию теоремы Лагранжа. То есть на [ x 0; x ] найдется хотя бы одна точка c1, для которой выполняется равенство:
F (x) – f (x 0) = f ’(c1)(x - x 0).
Поставим в равенство (1) полученное соотношение:
f (x) – y касат(x) = f ’(c1)(x - x 0) – f ’(x 0)(x - x 0) = (x - x 0)×(f ’(c1) – f ’(x 0)). (2)
На [ x 0;c1] функция f ’(x) удовлетворяет условию теоремы Лагранжа. То есть на (x 0;c1) найдется хотя бы одна точка с2, для которой выполняется равенство:
f ’(c1) – f ’(x 0) = f ”(c2)(c1- x 0).
Подставим в равенство (2) полученное соотношение:
f (x) – y касат(x) = (x - x 0)× f ”(c2)(c1- x 0). (3)
Если x > x 0, то c1 > x 0 и c2 > x 0, то есть x - x 0 < 0 и с1- x 0 < 0.
По предположению f ”(x) ³ 0. Тогда f (x) – y касат(x) ³ 0.
Если x < x 0, то c1 < x 0 и c2 < x 0, то есть x - x 0 > 0 и c1- x 0 > 0.
Тогда f (x) – y касат(x) ³ 0.
Следовательно, при любом x Î (a; b) выполняется неравенство:
f (x) – y касат(x) ³ 0.
Аналогично можно доказать, что если f ”(x) £ 0 при любом x Î (a; b), то кривая y = f (x) на (a; b) будет выпуклой.
Теорема доказана.
Определение 9. Пусть в точке (x 0; f (x 0)) существует касательная. Тогда точка (x 0; f (x 0)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой или наоборот называется точкой перегиба графика функции y = f (x).
Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба).
Если функция y = f (x) дифференцируема в окрестности точки x 0, вторая производная функции f ”(x 0) = 0 или не существует и f ”(x) меняет свой знак при переходе x через точку x 0, то точка (x 0; f (x 0)) – точка перегиба кривой y = f (x).
Доказательство. Для определенности рассмотрим слeчай, когда f ”(x) при переходе через точку x 0 изменяет знак с «+» на «-».
Тогда в левой полуокрестности точки x 0 f ”(x) >0, то есть кривая при x < x 0 вогнутая, а в правой полуокрестности точки x 0 f ”(x) <0, то есть кривая при x > x 0 выпуклая.
Следовательно, точка (x 0; f (x 0)) по определению является точкой перегиба графика функции y = f (x).
Аналогично рассматривается другой случай, когда f ”(x) при переходе через точку x 0 изменяет знак с «-» на «+».
Теорема доказана.
Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 134 | Нарушение авторских прав