Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения

Работа в поле тяготения по перемещению тела массой m на расстояние :

    где: М – масса Земли R – расстояние от Земли (см. рис.10.3)

Знак минус появляется потому, что сила F и перемещение dR в данном случае противоположны по направлению (см. рис.10.3).

Если тело перемещать с расстояния R₁ до R₂, то работа А:

.

Из формулы А вытекает, что работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется начальным и конечным положениями тела.

То есть силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Т.к. работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с обратным знаком, то:

или

При потенциальная энергия П₂ = 0.

Поскольку первая точка выбрана произвольно, потенциальная энергия поля тяготения

Потенциал поля тяготения:

Величина является

энергетической характеристикой поля тяготения и называется

потенциалом поля тяготения.

Потенциал поля тяготени я φ – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля, или

работой поля по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

Взаимосвязь между потенциалом (φ) и напряженностью (g) поля тяготения:

(вытекает из полученного выше)

С другой стороны (dl – элементарное перемещение)

т.е. , откуда

7.Потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h:

В качестве примера рассмотрим потенциальную энергию тела, находящееся на высоте h относительно Земли:

,

где R₀ – радиус Земли.

Так как и , то, учитывая, что h << R₀, получаем: Таким образом, мы вывели формулу, которую ранее использовали как постулат.

8. Космические скорости

Для запуска космических объектов им необходимо придать соответствующие скорости для преодоления сил земного притяжения. Эти скорости называют космическими.

а) Первая космическая скорость(круговая)

– скорость вывода объектов на траекторию спутника Земли.

Первой космической скоростью называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т.е.

превратиться в искусственный спутник Земли.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом r, действуют сила тяготения Земли и центробежная сила:

; .

Указанные силы равны и направлены в противоположные стороны (иначе тело сойдет с орбиты). Основываясь на этом, найдем первую космическую скорость:

, откуда: , здесь учтено - ускорение свободного падения кг·м/с. Если тело движется вблизи поверхности Земли, то можно принять ( R_экв = 6378 км ), тогда

м/с.

б) Вторая космическая скорость:

Вторая космическая скорость (параболическая) – скорость, необходимая объекту для преодоления силы притяжения Земли и выхода на орбиту спутника Солнца. Для достижения второй космической скорости необходимо, чтобы кинетическая энергия тела была равна работе, совершаемой против сил тяготения:

, откуда:

км/с

в) Третья космическаяскорость – скорость покидания Солнечной системы:

v₃ = 16,7 км/с.

___________________________

Конец 4 лекции

Дата добавления: 2015-10-21