Читайте также:
|
|
Содержание учебного материала
Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.
2. Пример решения задачи в Mathcad.
3. Задание.
4. Список рекомендуемой литературы.
Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло. Начальное понятие числа
В случае когда, например, определенный интеграл не может быть вычислен в квадратурах, либо прибегают к численным методам интегрирования, либо расчет ведется с помощью метода Монте-Карло. Применение метода Монте-Карло становится оправданным при кратности интеграла больше трех. В данном примере мы используем метод Монте-Карло для расчета интегралов с кратностью не более трех. Это позволит более ясно представить технику применения метода.
Сначала рассмотрим вычисление простого определенного интеграла
(1) |
где .
Введем под знак интеграла постоянный множитель (равный единице):
(2) |
Вынесем из-под интеграла числитель дроби, получим
(3) |
Как известно, если случайная величина распределена на заданном интервале (например, ) равномерно, то ее функция плотности обратно пропорциональна длине интервала, т. е.
Кроме того, если известно распределение случайной величины , то функция от этой случайной величины будет иметь тот же самый закон распределения. В этом случае математическое ожидание непрерывной равномерно распределенной случайной величины рассчитывается по формуле
Соответственно, математическое ожидание от функции случайной величины будет определяться следующим образом:
(4) |
Сопоставляя (4) и (5), приходим к выводу, что определенный интеграл может быть рассчитан по формуле
(5) |
Несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины, как известно, является ее среднее арифметическое. Поэтому математическое ожидание можем приближенно найти по формуле
(6) |
С учетом (6) получаем выражение для приближенного расчета определенного интеграла
(7) |
Чем больше число испытаний , тем точнее будет расчет математического ожидания (6) и, следовательно, определенного интеграла, вычисляемого по формуле (7).
Рассмотрим общий подход вычисления -кратного интеграла с помощью метода Монте-Карло.
Пусть задан -кратный интеграл вида
(8) |
где подынтегральная функция задана на замкнутой области .
Погрузим область интегрирования в -мерный промежуток
(9) |
имеющий меру
(10) |
Определим в промежутке (10) функцию
(11) |
Тогда в соответствии с (8) и (11) получим
(12) |
Введем в рассмотрение -мерную случайную величину , имеющую в замкнутой области равномерное распределение вероятностей с дифференциальной функцией плотности
(13) |
Функция плотности равномерного распределения есть величина постоянная, поэтому введем ее под знак интеграла (12) следующим образом:
(14) |
Вынесем числитель дроби за знак интеграла, т. е.
((15) |
В (15) -кратный интеграл — это математическое ожидание от функции случайной величины в предположении, что случайная величина распределена равномерно с плотностью (4.18). Следовательно, можем записать
(16) |
где .
В свою очередь математическое ожидание может быть оценено с помощью арифметического среднего. Тогда приближенное значение -кратного интеграла будет определяться приближенной формулой
(17) |
где — значение случайной величины в -м испытании.
Чтобы смоделировать выборку -мерной случайной величины , равномерно распределенной в -мерном промежутке , используются псевдослучайные числа. Для этого в каждом испытании с номером выбирают псевдослучайных чисел , и по ним определяют координаты случайной величины , псевдослучайной точки .
Таким образом, техника применения метода Монте-Карло здесь будет заключаться в определении области , генерировании в ней псевдослучайных чисел, подсчета числа попаданий этих чисел в область и применении формулы (17).
Расчет площадей и объемов можно рассматривать как частный случай вычисления кратных интегралов. Например, вычисление объема тел с помощью трехкратного интеграла сводится к взятию интеграла по области при подынтегральной функции, тождественно равной единице.
Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 285 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Wave-Lengths and Frequencies of Electro-Magnetic Radiation | | | Пример решения задачи в Mathcad |