Импульсные и переходные характеристики цепей первого и второго порядка.

В рассмотренных методах анализа переходных процессов связь между воздействующим на цепь сигналом f ₁(t) и выходной величиной f ₂(t) выражалась косвенно — либо в виде операторной передаточной функции K (s), представляющей отношение изображений по Лапласу обоих сигналов F ₁(s) и F ₂(s), либо посредством дифференциального уравнения, связывающего f ₁ и f ₂. Такие способы описания динамических свойств цепи не несут в явном виде информацию о скорости протекания переходных процессов; получить ее можно при изучении реакции цепи на типовые воздействия — входные сигналы стандартного вида — единичную и d-функции. Реакция цепи — выходная величина f ₂(t) при подаче на вход единичной функции f ₁(t) = 1(t) — называется переходной характеристикой цепи h (t), реакция на d-импульс — импульсной характеристикой h _d(t).

Переходную и импульсную характеристики можно найти с помощью операторного метода. При f ₁(t) = 1(t) F ₁(s) = 1/ s; изображение выходной величины h (t) тогда равно F ₂(s) = (1/ s) K (s). Поэтому h (t) — это оригинал последней функции. Аналогично при f ₁(t) = d(t) F ₁(s) = 1, F ₂(s) = K (s), и обратное преобразование Лапласа передаточной функции дает h _d(t).

Переходную характеристику цепи первого порядка h (t) можно найти и более просто. Поскольку реакция такой цепи на единичное воздействие представляет сумму постоянной величины и одного экспоненциального члена h (t) = A ₁ + A ₂ e ^{– t /t}, то для нахождения обеих констант достаточно определить выходную величину h (0) при t = 0 и h (¥) при t = ¥. Рассмотрение обоих режимов сводится к анализу чисто резистивной цепи. Режим при t = 0 рассчитывают при нулевых начальных условиях. В результате для обеих постоянных получим A ₁ = h (¥); A ₁ + A ₂ = h (0). Поэтому для цепи первого порядка переходная характеристика выражается как:

h (t) = h (¥) + [ h (0) - h (¥)] e ^{– t /t}.

Постоянную времени t определяют, находя эквивалентное сопротивление резистивных элементов цепи относительно зажимов индуктивности или емкости при исключенном источнике (см п. 15.4).

Размерность h (t) определяется размерностью входного и выходного сигналов, каждый из которых может являться напряжением или током; размерность h _d(t) равна размерности соответствующей переходной характеристики, деленной на время.

Если реакция цепи определяется на той же паре зажимов, что и возбуждение, то вместо K (s) выступает входная величина Z (s) или Y (s); вместо h (t) имеем переходное сопротивление z (t) или проводимость y (t), вместо h _d(t) — z _d(t) или y _d(t) — импульсные сопротивление или проводимость.

Из приведенных операторных соотношений следует, что переходная и импульсная характеристики связаны между собой следующим образом:

или .

Для простейших цепей, изображенных на рис. 20.1, а, б, h (t) = 1 – e ^{– t /t}. Характеристику h _d(t) получим путем дифференцирования: h _d(t) = dh / dt = (1/t) e ^{– t /t}.

Рис. 20.1

Для цепей (рис. 20.1, в, г) имеем: h (t) = e ^{– t /t}. Здесь формальное применение связи h _d = dh / dt даст неверный результат. Поэтому определим h _d как оригинал передаточной функции K (s) = (s t)/(1 + s t). Так как она представляет неправильную дробь, перед применением теоремы разложения следует выделить целую часть: K (s) = 1 – 1/(1 + s t). Оригинал первого слагаемого —d-функция, и в результате для цепей рис. 20.1, в, г имеем:

h _d(t) = d(t) – (1/t) e ^{– t /t}.

Очевидно, что при дифференцировании h (t) мы получили только второе слагаемое, поскольку приведенное выражение для h (t) справедливо только при t > 0, а при t < 0 всегда имеем h (t) = 0 (рис. 20.2).

Рис. 20.2

Поэтому для получения h _d путем дифференцирования h (t) следовало бы написать h (t) = 1(t) e ^{– t /t}, и тогда дифференцирование произведения даст правильный результат. В первом примере (рис. 20.1, а,б) это несущественно, поскольку h (0) = 0, и при дифференцировании ничего не теряется. Поэтому следует либо исправить формулы, связывающие h _d и h, либо учитывать множитель 1(t). С учетом сказанного связи между h _d и h можно записать так:

h _d(t) = h (0)d(t) + dh / dt;

.

По указанному признаку все цепи можно разделить на два класса: 1) цепи с ограниченной импульсной характеристикой (h (0) = 0); 2) цепи с неограниченной импульсной характеристикой (h _d(0) = ¥, (h (0) ¹ 0). Множитель 1(t), входящий во все выражения h и h _d, при записи обычно опускают.

Дата добавления: 2015-08-21