Тема 4.1. Механічні коливання та хвилі

Основні питання, що вивчаються в даній темі:

1. Коливальний рух. Вільні коливання. Амплітуда, період, частота.

2. Гармонічні коливання. Рівняння гармонічних коливань.

3. Математичний маятник. Формула періоду коливань математичного маятника.

4. Вимушені коливання. Резонанс. Автоколивальні системи.

5. Поширення механічних коливань у пружних середовищах. Поперечні та подовжні хвилі. Довжина хвилі.

6. Інтерференція та дифракція хвиль.

Теоретичні відомості з теми:

Механічним коливанням називають періодичний або майже періодичний рух тіла.

Модуль найбільшого зміщення від положення рівноваги називають амплітудою коливань – х_макс (м).

Проміжок часу, протягом якого відбувається одне повне коливання, називають періодом коливань – Т (с).

Кількість коливань за одну секунду називають частотою коливань – ν (Гц).

Т= , де t – час коливань (с), N – кількість коливань.

ν = , де t – час коливань (с), N – кількість коливань.

Тоді частота і період пов’язані між собою: ν = , (Гц = = с^-1 – герц, одиниця вимірювання частоти – одне коливання за 1 с). І навпаки: Т = .

ω = (кругова) частота – це кількість коливань за 2π секунд.

Коливання, які здійснюються під дією внутрішніх сил системи називають вільними коливаннями, а систему, у якій можуть відбуватися вільні коливання, називають коливальною системою (вантаж, підвішений на нитці, на пружині і т. д.). Щоб у системі здійснювалися вільні коливання необхідно: а) система має бути розташована поблизу положення стійкої рівноваги; б) сили тертя або сили опору в системі мають бути досить малими.

Коливання, що відбуваються за законом синуса або косинуса, називають гармонічними. Рівняння гармонічних коливань: х =х_макс sin =x_макс sin ωt= =х_макс sin 2πνt, або: х =x_макс cos = х_макс cos ωt = х_макс cos 2πνt. В цих рівняннях - х – зміщення точки від положення рівноваги в момент часу t, Т – період, ω – циклічна частота, ν – частота коливань, х_макс – амплітуда коливань.

Математичним маятником називають модель ниткового маятника (вантажу, підвішеного на нитці), для якого можна знехтувати розміром вантажу порівняно з довжиною нитки, а масою нитки – порівняно з масою вантажу. Період коливань ниткового маятника не залежить від маси вантажу і визначається тільки довжиною нитки: чим довша нитка, тим більшим є період коливань. Період малих коливань математичного маятника: Т = 2π , де l – довжина нитки (м), g – прискорення вільного падіння в даному місці (м/с²). Період малих коливань пружинного маятника: Т = 2π , де – m – маса вантажу (кг), k – жорсткість пружини (Н/м).

Під час коливань відбуваються періодичні перетворення потенціальної енергії на кінетичну і навпаки. Коливання, амплітуда яких поступово зменшується, називають загасаючими. Оскільки тертя тією чи іншою мірою є завжди, вільні коливання є завжди загасаючими. Частота вільних коливань, яку називають власною частотою, визначається властивостями самої системи. Коливання, що здійснюються під дією зовнішньої сили, яка періодично змінюється, називають вимушеними коливаннями. Вимушені коливання здійснюються з тією самою частотою, з якою змінюється зовнішня сила. Коли частота зміни зовнішньої сили збігається з частотою власних коливань, амплітуда вимушених коливань різко зростає, бо наступають ідеальні умови для передачі енергії від зовнішнього джерела до коливальної системи. Це явище називають резонансом.

Поширення коливань у середовищі називають механічними хвилями. Хвилі, які мають синусоїдальну форму, називають гармонічними хвилями.

Відстань λ між сусідніми гребенями хвилі називають довжиною хвилі.

Швидкістю хвилі називають швидкість руху її гребенів, або відстань на яку поширюються коливання за один період, тому: υ= λ/Т, або υ=λν, де Т і ν – період і частота хвиль.

Хвилі, під час поширення яких частинки середовища зміщуються перпендикулярно до напряму поширення хвилі, називають поперечними хвилями. Хвилі, під час поширення яких частинки середовища зміщуються вздовж напряму поширення хвилі, називають поздовжніми хвилями.

Поперечні хвилі поширюються тільки у твердих тілах, де між частинками речовини існують сили, які не дають змінюватися формі тіла (під час деформацій зсуву).

Поздовжні хвилі можуть поширюватися в будь-якому середовищі, оскільки для їх поширення необхідно, щоб між частинками речовини існували сили, що не дають змінюватися об’єму тіла (під час деформацій розтягу і стиску).

Людське вухо сприймає як звук коливання з частотами від 20 Гц до 20 кГц. Швидкість поширення хвиль у повітрі – близько 330 м/с, у воді – близько 1500 м/с, а в сталі – понад 5000 м/с.

Хвилі не переносять речовину середовища а переносять енергію частинок середовища, які коливаються. Хвилі від різних джерел поширюються незалежно одна від одної і в разі накладання хвиль можуть підсилювати одна одну в одних точках середовища а в інших точках послаблювати (аж до повного гасіння).

Взаємне підсилення або послаблення в просторі двох або декількох хвиль з однаковою довжиною хвилі та сталою різницею фаз (когерентні хвилі) називають інтерференцією хвиль.

Явище відхилення хвиль від прямолінійного поширення й обгинання ними перешкод, розміри яких не перевищують довжину хвилі називають дифракцією хвиль.

Питання теоретичного змісту:

4мкх1. Що таке механічні коливання? Що таке амплітуда, період, частота коливань (означення, формули, одиниці вимірювання)? Навести приклади механічних коливань.

4мкх2. Які коливання називають вільними? При яких умовах вони виникають та існують? Що таке коливальна система? Навести приклади вільних коливань та їх систем.

4мкх3. Які коливання називають гармонічними? Які рівняння описують гармонічні коливання? Що означають та в чому вимірюються всі величини, що входять в рівняння гармонічних коливань? Який графік гармонічних коливань?

4мкх4. Що собою являє модель математичного маятника? Від чого залежить і від чого не залежить період коливань математичного маятника? Як можна обчислити період малих коливань математичного маятника?

4мкх5. Що собою являє пружинний маятник? Від чого залежить і від чого не залежить період коливань пружинного маятника? Як можна обчислити період малих коливань пружинного маятника?

4мкх6. Які перетворення енергії відбуваються (і як саме) в коливальних системах? Що таке загасаючі коливання? Де, коли і чому відбуваються загасаючі коливання? Що таке вимушені коливання? При яких умовах відбувається явище механічного резонансу? Чим супроводжується явище резонансу? Навести приклади. Корисне чи шкідливе явище резонансу?

4мкх7. Що таке механічні хвилі? Що таке довжина хвилі? Як знайти швидкість поширення хвиль в середовищі? Що ви знаєте про поперечні та подовжні хвилі? А якими є звукові хвилі? Що ви про них знаєте?

4мкх8. Як поширюються хвилі від різних джерел в одному і тому ж середовищі? Що таке інтерференція хвиль? При яких умовах вона можлива? Що таке дифракція хвиль? При яких умовах вона можлива?

Задачі рівня А:

4мкх9. Визначити період T коливань маятника який за t=1 хв здійснив N=30 коливань. Яка частота коливань?

4мкх10. Скільки коливань N виконає маятник за t=0,5 хв, якщо його період T=20 с.?

4мкх11. Скільки коливань N виконає маятник за t=2 хв, якщо його частота ν=30 Гц?

4мкх12. Визначити період T малих коливань математичного маятника довжиною l=25 см. Вважати g=10 м/с².

4мкх13. Визначити період T коливань пружинного маятника масою m=200 г, якщо жорсткість пружини k=40 Н/м.

4мкх14. Рівняння гармонічних коливань: x=0,5 cos 120 π t (м). Визначити амплітуду - х_макс, циклічну частоту - ω, частоту - ν та період Т коливань. Побудуйте графік х (t).

4мкх15. Відстань між двома сусідніми гребнями хвиль λ=1,8 м. Знайти швидкість υ її поширення, якщо період коливань складає T=20 с.

4мкх16. Хвилі довжиною λ=3 м мають частоту коливань ν=180 Гц. З якою швидкістю υ вони поширюються в середовищі?

4мкх17. Визначити довжину звукової хвилі λ, що поширюється в повітрі зі швидкістю υ=330 м/с, якщо період її коливань складає T=1,2 мс.

4мкх18. Яку частоту ν мають звукові хвилі, якщо швидкість їх поширення у повітрі υ=340 м/с, а довжина хвилі λ=170 см?

Задачі рівня В:

4мкх19. Визначити довжину l нитки математичного маятника, період коливань якого T=0,5 с. Прийняти g=10 м/с².

4мкх20. Знайти жорсткість k пружинного маятника, якщо період коливань вантажу масою m=144 г становить T=0,12 с.

4мкх21. Визначити прискорення g вільного падіння на планеті, де маятник довжиною l= 4,56 см коливається з періодом T=0,3 с.

4мкх22. Визначити масу вантажу m, підвішеного на пружині жорсткістю k=480 Н/м, якщо період його коливань становить T=6 с.

4мкх23. Написати рівняння гармонічних коливань, які мають амплітуду x_max=2 см, а частоту коливань ν=100 Гц.

4мкх24. Написати рівняння гармонічних коливань, які мають амплітуду x_max=120 см, а період коливань Т= 0,4 с.

Дата добавления: 2015-08-13