Задачи 31-40

С кручением чаще всего приходится встречаться при работе валов машин (валы генераторов, ре­дукторов и др.).

Кручением называют

такой вид нагружения бруса,

при котором в его поперечных сечениях возникает только

один внутренний силовой

фактор – крутящий

момент М_кр (М_z).

Крутящий

момент в произвольном поперечном сечении

бруса равен алгебраической

сумме внешних моментов, действующих по одну сторону

от сечения

Имеется в виду, что плоскости действия всех внешних моментов М_кр перпендикулярны продольной оси бруса. Будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на проведенное сечение, он представляется проведенным по часовой стрелке. Соответствующий внешний момент направлен против часовой стрелки.

Для заданного стального бруса:

1. определить значения моментов М_АВ, М_ВС, М_СД;

2. построить эпюры крутящих моментов,

3. построить эпюру крутящих моментов,

4. подобрать размеры сечения в двух вариантах:

®круг,

®кольцо с заданным отношением = 0,8 внутреннего и наружного диаметров.

5. сравнить массы брусьев по обоим расчетным вариантам. Принять

[t] = 30 МПа.

·

Дано: Р₁= 9 кВт; Р₂ = 15 кВт;Р₃ =3 кВт; ω = 10 .

Решение:

Определяем значения моментов М_АВ, М_ВС, М_СД:

М _АВ= = 900 Нм;

М _ВС = = = 1500 Нм;

М _СД = = = 300 Нм.

Строим эпюру крутящих моментов, применяя метод сечения. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, идя от свободного конца,

будем отбрасывать закрепленную часть бруса и оставлять для рассмотрения незакрепленную:

М_{кр АВ} = М_АВ = 900 Нм;

М_{кр ВС} = М_АВ+М_ВС = -900 + 1500 = 600 Нм;

М_{кр СД} = М_АВ+М_ВС+М_СД = -900+1500-300 = 300 Нм.

Определяем размеры поперечного сечения бруса из условия прочности при кручении:

W_p = = 30·10³ мм³.

круг W_p = ;d = = 53,46 мм.

d = 54 мм.

кольцо W_p= ⇒ d₁= = =53,46 мм.

Принимаемd₁ = 64 мм.

Тогда d₀ = 0,8 · d₁ = 51,2 мм. Принимаем d₀ = 50 мм.

Сравним затраты материала по обоим вариантам. Отношения масс брусьев одинаковой длины равно отношению площадей их сечений:

=

Следовательно, брус круглого сечения тяжелее кольцевого примерно в 2 раза.

Задачи 41-50

Для заданного ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, осевых перемещений. Проверить прочность бруса и указать, насколько (в процентах) брус недогружен или перегружен

При работе бруса на растяжение и сжатие в его поперечных сечениях возникает продольная сила N. Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, действующих на отсечённую часть N = Σ F_i.

Для расчёта на прочность и определение перемещений необходимо знать закон изменения продольных сил по его длине. Правило знаков: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии - отрицательна. Условие прочности при растяжении и сжатии имеет вид

=

где σ, N - соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном сечении (т. е. в сечении, где возникают наибольшие напряжения), А - площадь поперечного сечения, [σ] - допускаемое напряжение.

Дано: F₁ = 8 кН; F₂ = 35 кН; А₁ = 1 см²;А₂ = 1,5 см²; А₃ = 2 см²;

Е = 2·10⁵ МПа, [s] = 160 МПа.

Решение:

1. Со свободного конца брус разбиваем на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил – А, В, Д. Определяем ординаты эпюры продольных сил на участках бруса

N_АВ = F₁ = 8 кН; N_ВД = F₁ + F₂ = 8 + 35 = 43 кН

Строим эпюру продольных сил.

2. Определяем ординаты эпюры нормальных напряжений на участкахбруса. Для этого со свободного конца брус разбиваем на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и точки где меняется сечение – А, С, В, Е, Д:

s_АС= = = 80 МПа;

s_СВ = = = 53,3 МПа;

s_ВЕ = = = 286,6 МПа;

s_ЕД = = = 215 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений.

Опасный участок – ВЕ.

3. Определяем ординаты осевых перемещений на участках бруса. Расчет производим со стороны заделки.

Δℓ_д = 0;

Δℓ_Е= = = 0, 268 мм;

Δℓ_В = + Δℓ_Е = 0,418 мм;

Δℓ_С= + Δℓ_В = + 0,418 = 0,458 мм;

Δℓ_А = + Δℓ_С = + 0,458 = 0,558 мм.

Строим эпюру осевых перемещений бруса.

4. Определяем перемещение Δℓ свободного конца бруса:

Δℓ =

5. Определяем процент перегрузки:

Δσ=

Ответ: Δℓ = 79,1%.

Дата добавления: 2015-08-13