Центральная предельная теорема и ее применения.

Теорема 3.2.1 (Центральная предельная теорема в формулировке. Ляпунова) Пусть для последовательности случайных величин выполняются условия:

1)при любых n случайные величины - независимы в совокупности;

2)одинаково распределены;

3)существует , .

Обозначим: , , где .

Тогда

Замечание 1. Мы дали одну из простейших формулировок центральной предельной теоремы. Все более поздние формулировки связаны с устранением пункта 2), но тогда усложняется условие 3). Чаще всего оно формулируется в виде условия Линдеберга (гарантирует, что все слагаемые вносят равномерно малый вклад в общую дисперсию).[3]

Замечание 2. Из утверждения теоремы согласно свойству 7 характеристической функции следует, что предельным законом для при будет нормальный .

Центральная предельная теорема играет большую роль в приложениях теории вероятностей. Одним из ярких примеров применения этой теоремы на практике является баллистика, изучающая явления рассеивания снарядов при стрельбе по цели.

На траекторию полета снаряда действует множество независимых факторов: колебания атмосферного давления, влажности, температуры, отклонения величины заряда и веса снаряда от номинала, ошибка прицеливания, сила ветра на различных высотах и т.д. Результатом этих многочисленных воздействий, каждое из которых вносит свой равномерно малый вклад в общую сумму (ограниченность дисперсий!) является то, что отклонение точки попадания от цели удивительно точно описывается двумерным нормальным законом распределения.

Другим примером применения центральной предельной теоремы является теория и практика измерений. Всякое измерение неизбежно сопряжено с погрешностями. Реально наблюдаемая погрешность измерения является суммой элементарных погрешностей, вызванных многочисленными факторами, каждый из которых лишь незначительно влияет на результат. В силу центральной предельной теоремы результирующая погрешность должна быть приближенно нормальной. Это обстоятельство играет решающую роль в разработке эффективных методов обработки опытных данных в математической статистике.

Пример 3.2.1. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями, , . Вычислить , если

а) .

б) .

в) .

◄ а) Пусть >0, , 1,2,…Преобразуем неравенство под знаком :

.

Поскольку при , а предельным законом для при является нормальный, то получаем: =0.►

б) Ответ: =1.

в) Ответ: =0,3.

Пример 3.2.2. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями, . Доказать, что .

Указание: преобразовать неравенство под знаком к неравенству со случайной величиной и воспользоваться результатом ЦПТ.

Пример 3.2.3. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями, . Найти , если известно, что

=1/3.

Ответ: 2,23.

Дата добавления: 2015-08-10